（本题9分）如图1，在△ABC中，ABBC，P为AB边上一点-优题课

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + 2 m - 1 = 0$ 有实数根，且 $m$ 为正整数，求 $m$ 的值及此时方程的根．

对于平面直角坐标系 $xOy$ 中的图形 $M$ ， $N$ ，给出如下定义： $P$ 为图形 $M$ 上任意一点， $Q$ 为图形 $N$ 上任意一点，如果 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $M$ ， $N$ 间的“闭距离“，记作 $d (M, N)$ ．

已知点 $A (- 2, 6)$ ， $B (- 2, - 2)$ ， $C (6, - 2)$ ．

（1）求 $d$ （点 $O$ ， $ΔABC)$ ；

（2）记函数 $y = kx (- 1 ⩽ x ⩽ 1, k \neq 0)$ 的图象为图形 $G$ ．若 $d (G, ΔABC) = 1$ ，直接写出 $k$ 的取值范围；

（3） $⊙ T$ 的圆心为 $T (t, 0)$ ，半径为1．若 $d (⊙ T, ΔABC) = 1$ ，直接写出 $t$ 的取值范围．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $AB$ 上的一动点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），连接 $DE$ ，点 $A$ 关于直线 $DE$ 的对称点为 $F$ ，连接 $EF$ 并延长交 $BC$ 于点 $G$ ，连接 $DG$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ DE$ 交 $DG$ 的延长线于点 $H$ ，连接 $BH$ ．

（1）求证： $GF = GC$ ；

（2）用等式表示线段 $BH$ 与 $AE$ 的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y = 4 x + 4$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3 a$ 经过点 $A$ ，将点 $B$ 向右平移5个单位长度，得到点 $C$ ．

（1）求点 $C$ 的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段 $BC$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

某年级共有300名学生．为了解该年级学生 $A$ ， $B$ 两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

$a$ ． $A$ 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： $40 ⩽ x < 50$ ， $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ， $70 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 90$ ， $90 ⩽ x ⩽ 100) :$

$b$ ． $A$ 课程成绩在 $70 ⩽ x < 80$ 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

$c$ ． $A$ ， $B$ 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

课程	平均数	中位数	众数
$A$	75.8	$m$	84.5
$B$	72.2	70	83

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中 $m$ 的值；

（2）在此次测试中，某学生的 $A$ 课程成绩为76分， $B$ 课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是　　（填“ $A$ ”或“ $B$ ” $)$ ，理由是　　，

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计 $A$ 课程成绩超过75.8分的人数．