阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理-优题课

阅读下面的文字，解答问题：
大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
又例如：①∵，即，
∴的整数部分为1，小数部分为.
②∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为.
请解答：的整数部分为，小数部分为。
如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（要求写出解题过程）

科目数学题型解答题难度中等

"中国结"是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有"中国结"图案的不透明卡片 $A$ ， $B$ ， $C$ ，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有 $A$ 卡片的概率．

先化简，再求值： ${(a + 1)}^{2} + a (1 - a) - 1$ ，其中 $a = \sqrt{7}$ ．

在平面直角坐标系中，函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）当此函数图象经过点 $(1, 2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时 $x$ 的取值范围．

（3）当 $x ⩽ 0$ 时，若函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象的最低点到直线 $y = 2 a$ 的距离为2，求 $a$ 的值．

（4）设 $a < 0$ ， $Rt Δ EFG$ 三个顶点的坐标分别为 $E (- 1, - 1)$ 、 $F (- 1, a - 1)$ 、 $G (0, a - 1)$ ．当函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象与 $ΔEFG$ 的直角边有交点时，交点记为点 $P$ ．过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P' (P'$ 与 $P$ 不重合），过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A'$ ．若 $AA' = 2 PP'$ ，直接写出 $a$ 的值．

如图①，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 以每秒5个单位长度的速度向点 $C$ 运动，同时点 $D$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，点 $P$ 到达点 $C$ 时，点 $P$ 、 $D$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，作点 $P$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $Q$ ，连结 $PQ$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，连结 $DP$ 、 $DQ$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值．

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $CE$ 的长．

（3）当 $ΔPDQ$ 为锐角三角形时，求 $t$ 的取值范围．

（4）如图②，取 $PD$ 的中点 $M$ ，连结 $QM$ ．当直线 $QM$ 与 $ΔABC$ 的一条直角边平行时，直接写出 $t$ 的值．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $ABCD (AB > AD)$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $DC$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A'$ ，折痕为 $DE$ ，点 $E$ 在 $AB$ 上．求证：四边形 $AEA' D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A' DE$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A'$ 沿 $DC$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $PF$ ，点 $F$ 在 $DC$ 上，点 $P$ 在 $AB$ 上，那么 $ΔPQF$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $QC = QP$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $QG$ ，点 $G$ 在 $AB$ 上．要使四边形 $PGQF$ 为菱形，则 $\frac{AD}{AB} =$ 　　．