（本小题满分12分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设的内-优题课

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若，均有，求实数的取值范围．
（Ⅲ）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在试求出的值，若不存在，请说明理由．

（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点、．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线分别切椭圆与圆（其中）于、两点，求的最大值．

（本小题满分12分）已知数列的前项和满足：（为常数，且）．且是与的等差中项，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为．

如图1，在直角梯形中，，，，，．将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

2014年中国汽车销售量达到2000多万辆，成为世界汽车销售的冠军，各大品牌与国内自主品牌纷纷加大促销力度，争取2015年实现新的突破．某知名品牌的汽车店，对最近位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分期付款的频率为．店经销一辆该品牌的汽车，顾客分期付款，其利润为万元；分期或期付款其利润为万元；分期或期付款，其利润为万元．用表示经销一辆汽车的利润．

付款方式	分期	分期	分期	分期	分期
频数	40	20		10

（Ⅰ）求上表中的值；
（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件：“购买该品牌汽车的位顾客中，至多有位采用期付款”的概率；
（Ⅲ）求的分布列及数学期望．