在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．-优题课

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
求证：FM = MH，FM⊥MH
将图-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，
求证：△FMH是等腰直角三角形
将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必
说明理由）

科目数学题型解答题难度较易

知识点：圆内接四边形的性质

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ．

（1）作出经过点 $B$ ，圆心 $O$ 在斜边 $AB$ 上且与边 $AC$ 相切于点 $E$ 的 $⊙ O$ （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的 $⊙ O$ 与边 $AB$ 交于异于点 $B$ 的另外一点 $D$ ，若 $⊙ O$ 的直径为5， $BC = 4$ ；求 $DE$ 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

如图，在 $ΔABC$ 中， $BC = 12$ ， $\tan A = \frac{3}{4}$ ， $∠ B = 30 °$ ；求 $AC$ 和 $AB$ 的长．

某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有　　人；

（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是　　．

已知：如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与坐标轴分别交于点 $A (0, 6)$ ， $B (6, 0)$ ， $C (- 2, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $AB$ 上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 运动到什么位置时， $ΔPAB$ 的面积有最大值？

（3）过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交线段 $AB$ 于点 $D$ ，再过点 $P$ 做 $PE / / x$ 轴交抛物线于点 $E$ ，连接 $DE$ ，请问是否存在点 $P$ 使 $ΔPDE$ 为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

已知：如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $M$ 是斜边 $AB$ 的中点， $MD / / BC$ ，且 $MD = CM$ ， $DE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，连接 $AD$ 、 $CD$ ．

（1）求证： $ΔMED ∽ ΔBCA$ ；

（2）求证： $ΔAMD ≅ ΔCMD$ ；

（3）设 $ΔMDE$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $BCMD$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{2} = \frac{17}{5} S_{1}$ 时，求 $\cos ∠ ABC$ 的值．

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