解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来.-优题课

某数学小组开展测量物体高度的实践活动，他们要测量某建筑物上悬挂的电子显示屏的高度．如图所示，他们先在点 $A$ 测得电子显示屏底端点 $D$ 的仰角 $∠ DAC = 15 °$ ，然后向建筑物的方向前进 $10 m$ 到达点 $B$ ，又测得电子显示屏顶端点 $E$ 的仰角 $∠ EBC = 45 °$ ，测得电子显示屏底端点 $D$ 的仰角 $∠ DBC = 30 °$ ．（点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一条直线上，且与点 $D$ ， $E$ 在同一平面内，不考虑测角仪高度）

（1）求此时他们离建筑的距离 $BC$ 的长；

（2）求电子显示屏 $DE$ 的高度．

（以上结果用含根号的式子表示）

为提高中小学生的身体素质，各校大力开展校园足球活动，某体育用品商店抓住这一商机，第一次用30000元购进 $A$ ， $B$ 两种型号的足球，并很快销售完毕，共获利12200元，其进价和售价如下表：

	$A$	$B$
进价（元 $/$ 个）	120	200
售价（元 $/$ 个）	170	280

（1）该体育用品商店购进 $A$ ， $B$ 两种型号的足球各多少个？

（2）该体育用品商店第二次准备用不超过40000元的资金再次购进 $A$ ， $B$ 两种型号的足球共260个，最少购进 $A$ 种型号的足球多少个？

为进一步发展学生特长，某校要开设编织、摄影、航模、机器人四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对学生选修本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．

（1）本次调查，一共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图和扇形统计图；

（3）若该学校共有1700名学生据此估计有多少名学生选修航模；

（4）将2名选修摄影的学生和2名选修编织的学生编为一组，从中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法求出2人都选修编织的概率．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \sqrt{3}$ （其中 $a$ 、 $b$ 为常数， $a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为对称轴与直线 $BC$ 的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点 $P$ ，使得 $ΔDPB ∽ ΔACB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）若点 $Q$ 为点 $O$ 关于直线 $BC$ 的对称点，点 $M$ 为直线 $BC$ 上一点，点 $N$ 为坐标平面内一点，是否存在这样的点 $M$ 和点 $N$ ，使得以 $Q$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

阅读理解：

问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $P$ 为底边 $BC$ 上的任意一点， $PD ⊥ AB$ 于点 $D$ ， $PE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，求证： $PD + PF$ 是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？

思路：我们可以将底边 $BC$ 上的任意一点 $P$ 移动到特殊的位置，如图②，将点 $P$ 移动到底边的端点 $B$ 处，这样，点 $P$ 、 $D$ 都与点 $B$ 重合，此时， $PD = 0$ ， $PE = BE$ ，这样 $PD + PE = BE$ ．因此，在证明这一命题时，我们可以过点 $B$ 作 $AC$ 边上的高 $BF$ （如图③ $)$ ，证明 $PD + PE = BF$ 即可．

请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：

如图④，在正方形 $ABCD$ 中，一直角三角板的直角顶点 $E$ 在对角线 $BD$ 上运动，一条直角边始终经过点 $C$ ，另一条直角边与射线 $DA$ 相交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $FH ⊥ BD$ ，垂足为 $H$ ．

（1）试猜想 $EH$ 与 $CD$ 的数量关系，并加以证明；

（2）当点 $E$ 在 $DB$ 的延长线上运动时， $EH$ 与 $CD$ 之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；

（3）如图⑥所示，如果将正方形 $ABCD$ 改为矩形 $ABCD$ ， $∠ ADB = θ$ ，其它条件不变，请直接写出 $EH$ 与 $CD$ 的数量关系．