-优题课

如图，点 $A (m, 4)$ ， $B (- 4, n)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，经过点 $A$ 、 $B$ 的直线与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，与 $y$ 轴相交于点 $D$ ．

（1）若 $m = 2$ ，求 $n$ 的值；

（2）求 $m + n$ 的值；

（3）连接 $OA$ 、 $OB$ ，若 $\tan ∠ AOD + \tan ∠ BOC = 1$ ，求直线 $AB$ 的函数关系式．

如图，地面上两个村庄 $C$ 、 $D$ 处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米 $/$ 小时的速度沿 $MN$ 方向水平飞行，航线 $MN$ 与 $C$ 、 $D$ 在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄 $C$ 的正上方 $A$ 处时，测得 $∠ NAD = 60 °$ ；该飞行器从 $A$ 处飞行40分钟至 $B$ 处时，测得 $∠ ABD = 75 °$ ．求村庄 $C$ 、 $D$ 间的距离 $(\sqrt{3}$ 取1.73，结果精确到0.1千米）

随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．

计算或化简：

（1） $\frac{1}{2} \sqrt{12} - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{2})$ ；

（2） $(\frac{m}{m - 2} - \frac{2 m}{m^{2} - 4}) \div \frac{m}{m + 2}$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将二次函数 $y = x^{2} - 1$ 的图象 $M$ 沿 $x$ 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象 $N$ ．

（1）求 $N$ 的函数表达式；

（2）设点 $P (m, n)$ 是以点 $C (1, 4)$ 为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象 $M$ 与 $x$ 轴相交于两点 $A$ 、 $B$ ，求 $P A^{2} + P B^{2}$ 的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 $M$ 与 $N$ 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．