如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4-优题课

题文

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
填空：GF的长度为________，等腰梯形DEFG的面积为________．
操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’(如图2)探究：在运动过程中，四边形BDG’G能否为菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $O$ 是 $AB$ 边上的一点，以 $OA$ 为半径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ 相切于点 $E$ ．

（1）若 $AC = 5$ ， $BC = 13$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（2）过点 $E$ 作弦 $EF ⊥ AB$ 于 $M$ ，连接 $AF$ ，若 $∠ F = 2 ∠ B$ ，求证：四边形 $ACEF$ 是菱形．

如图，已知点 $B$ ， $E$ ， $C$ ， $F$ 在一条直线上， $AB = DF$ ， $AC = DE$ ， $∠ A = ∠ D$ ．

（1）求证： $AC / / DE$ ；

（2）若 $BF = 13$ ， $EC = 5$ ，求 $BC$ 的长．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ BAC = 90 °$ ，四边形 $EBOC$ 是平行四边形， $EB$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $CD$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $CF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ F = 30 °$ ， $EB = 4$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 $π$ ）.

如图，点 $D$ 是 $AB$ 上一点， $DF$ 交 $AC$ 于点 $E$ ， $DE = FE$ ， $FC / / AB$

求证： $AE = CE$ ．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $E$ 是 $BD$ 上一点， $EF / / AB$ ， $∠ EAB = ∠ EBA$ ，过点 $B$ 作 $DA$ 的垂线，交 $DA$ 的延长线于点 $G$ ．

（1） $∠ DEF$ 和 $∠ AEF$ 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与 $ΔAGB$ 相似的三角形，并证明；

（3） $BF$ 的延长线交 $CD$ 的延长线于点 $H$ ，交 $AC$ 于点 $M$ ．求证： $B M^{2} = MF \cdot MH$ ．

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