、如图，已知ABAD，CBCD，连接AC，BD交于点O。求证-优题课

一个家庭有 $3$ 个孩子.

（1）求这个家庭有 $2$ 个男孩和 $1$ 个女孩的概率;

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率.

2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科.第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科;第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科;第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科.

（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是＿＿＿＿＿.

（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率.

已知矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2, AD = 5$ .点 $E$ 是 $AD$ 边上一动点，连接 $BE, CE$ ，以 $BE$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $BC$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作于 $FH ⊥ CE$ 于点 $H$ .

（1）当直线 $FH$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $AE$ 的长;

（2）当 $FH / / BE$ 时，求 $AE$ 的长;

（3）若线段 $FH$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，在点 $E$ 运动过程中， $△ OFG$ 能否成为等腰直角三角形?如果能，求出此时 $AE$ 的长，如果不能，说明理由.

如图，已知矩形 $ABCD, AB = 12 cm, AD = 10 cm, ⊙ O$ 与 $AD, AB, BC$ 三边都相切，与 $DC$ 交于点 $E, F$ .已知点 $P, Q, R$ 分别从 $D, A, B$ 三点同时出发，沿矩形 $ABCD$ 的边逆时针方向匀速运动，点 $P, Q, R$ 的运动速度分别是 $1 cm / s, x cm / s, 1.5 cm / s$ ，当点 $Q$ 到达点 $B$ 时停止运动， $P, R$ 两点同时停止运动.设运动时间为 $t$ （单位: $s$ ）.

（1）求证: $DE = CF$ ;

（2）设 $x = 3$ ，当 $△ PAQ$ 与 $△ QBR$ 相似时，求出 $t$ 的值;

（3）设 $△ PAQ$ 关于直线 $PQ$ 对称的图形是 $△ P A^{'} Q$ ，当 $t$ 和 $x$ 分别为何值时，点 $A^{'}$ 与圆心 $O$ 恰好重合，求出符合条件的 $t, x$ 的值.

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴相交于 $B (1, 0), C (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴相交于 $A$ 点，过 $A, B, C$ 三点的 $⊙ P$ 与 $y$ 轴相切于点 $A$ .

（1）请求出点 $A$ 坐标和 $⊙ P$ 的半径;

（2）请确定抛物线的解析式;

（3） $M$ 为 $y$ 轴负半轴上的一个动点，直线 $MB$ 交 $⊙ P$ 于点 $D$ .若 $△ AOB$ 与以 $A, B, D$ 为顶点的三角形相似，求 $MB \cdot MD$ 的值（先画出符合题意的示意图再求解）.