如图1，在△ABC中，∠ACB90°，AC3，BC4，将△A-优题课

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕顶点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C．联结A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S_△ACA′和S_△BCB′．

（1）直接写出S_△ACA′︰S_△BCB′的值；
（2）如图2，当旋转角为（0°＜＜180°）时，S_△ACA′与S_△BCB′的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写出变化后的比值（可用含的代数式表示）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AD$ 、 $BC$ 上的点，将平行四边形 $ABCD$ 沿 $EF$ 所在直线翻折，使点 $B$ 与点 $D$ 重合，且点 $A$ 落在点 $A'$ 处．

（1）求证：△ $A' ED ≅ ΔCFD$ ；

（2）连接 $BE$ ，若 $∠ EBF = 60 °$ ， $EF = 3$ ，求四边形 $BFDE$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0, - \frac{4}{3})$ ， $OA = 1$ ， $OB = 4$ ，直线 $l$ 过点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，交抛物线于点 $E$ ，且满足 $\tan ∠ OAD = \frac{3}{4}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $x$ 轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿射线 $AE$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $E$ 运动，当点 $P$ 运动到点 $A$ 时，点 $Q$ 也停止运动，设运动时间为 $t$ 秒．

①在 $P$ 、 $Q$ 的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使得 $ΔADC$ 与 $ΔPQA$ 相似，若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$ 、 $Q$ 的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使得 $ΔAPQ$ 与 $ΔCAQ$ 的面积之和最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $BC$ 、 $AC$ 边上，连接 $BE$ 、 $AD$ 交于点 $P$ ，设 $AC = kBD$ ， $CD = kAE$ ， $k$ 为常数，试探究 $∠ APE$ 的度数：

（1）如图1，若 $k = 1$ ，则 $∠ APE$ 的度数为　　；

（2）如图2，若 $k = \sqrt{3}$ ，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $∠ APE$ 的度数．

（3）如图3，若 $k = \sqrt{3}$ ，且 $D$ 、 $E$ 分别在 $CB$ 、 $CA$ 的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图， $P$ 是 $⊙ O$ 外的一点， $PA$ 、 $PB$ 是 $⊙ O$ 的两条切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $PO$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，延长 $BO$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，交 $PA$ 的延长交于点 $Q$ ，连接 $AC$ ．

（1）求证： $AC / / PO$ ；

（2）设 $D$ 为 $PB$ 的中点， $QD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为3， $CQ = 2$ ，求 $\frac{AE}{BE}$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + (1 - 5 m) x - 5 = 0 (m \neq 0)$ ．

（1）求证：无论 $m$ 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线 $y = m x^{2} + (1 - 5 m) x - 5$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，且 $| x_{1} - x_{2} | = 6$ ，求 $m$ 的值；

（3）若 $m > 0$ ，点 $P (a, b)$ 与 $Q (a + n, b)$ 在（2）中的抛物线上（点 $P$ 、 $Q$ 不重合），求代数式 $4 a^{2} - n^{2} + 8 n$ 的值．