已知：如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点-优题课

某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 $y$ （元 $)$ 与上网时间 $x$ （小时）的函数关系如图所示，其中 $BA$ 是线段，且 $BA / / x$ 轴， $AC$ 是射线．

（1）当 $x ⩾ 30$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？

（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？

阅读下列题目的解题过程：

已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $ΔABC$ 的三边，且满足 $a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4}$ ，试判断 $ΔABC$ 的形状．

解： $∵ a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4}$ （A）

$∴ c^{2} (a^{2} - b^{2}) = (a^{2} + b^{2}) (a^{2} - b^{2})$ （B）

$∴ c^{2} = a^{2} + b^{2}$ （C）

$∴ ΔABC$ 是直角三角形

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　　；

（2）错误的原因为：　　；

（3）本题正确的结论为：　　．

如图，已知线段 $AB = 2$ ， $MN ⊥ AB$ 于点 $M$ ，且 $AM = BM$ ， $P$ 是射线 $MN$ 上一动点， $E$ ， $D$ 分别是 $PA$ ， $PB$ 的中点，过点 $A$ ， $M$ ， $D$ 的圆与 $BP$ 的另一交点 $C$ （点 $C$ 在线段 $BD$ 上），连接 $AC$ ， $DE$ ．

（1）当 $∠ APB = 28 °$ 时，求 $∠ B$ 和 $\hat{CM}$ 的度数；

（2）求证： $AC = AB$ ．

（3）在点 $P$ 的运动过程中

①当 $MP = 4$ 时，取四边形 $ACDE$ 一边的两端点和线段 $MP$ 上一点 $Q$ ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 $Q$ 为锐角顶点，求所有满足条件的 $MQ$ 的值；

②记 $AP$ 与圆的另一个交点为 $F$ ，将点 $F$ 绕点 $D$ 旋转 $90 °$ 得到点 $G$ ，当点 $G$ 恰好落在 $MN$ 上时，连接 $AG$ ， $CG$ ， $DG$ ， $EG$ ，直接写出 $ΔACG$ 和 $ΔDEG$ 的面积之比．

小黄准备给长 $8 m$ ，宽 $6 m$ 的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形 $ABCD$ 区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足 $PQ / / AD$ ，如图所示．

（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元 $/ m^{2}$ ，面积为 $S (m^{2})$ ，区域Ⅱ的瓷砖均价为200元 $/ m^{2}$ ，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求 $S$ 的最大值；

（2）若区域Ⅰ满足 $AB : BC = 2 : 3$ ，区域Ⅱ四周宽度相等

①求 $AB$ ， $BC$ 的长；

②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元 $/ m^{2}$ ，乙、丙瓷砖单价之比为 $5 : 3$ ，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．

如图，过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x$ 上一点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线，交抛物线于另一点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，已知点 $A$ 的横坐标为 $- 2$ ．

（1）求抛物线的对称轴和点 $B$ 的坐标；

（2）在 $AB$ 上任取一点 $P$ ，连接 $OP$ ，作点 $C$ 关于直线 $OP$ 的对称点 $D$ ；

①连接 $BD$ ，求 $BD$ 的最小值；

②当点 $D$ 落在抛物线的对称轴上，且在 $x$ 轴上方时，求直线 $PD$ 的函数表达式．