（本题8分）两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆-优题课

为了解本校学生对新闻（A）、体育（B）、动画（C）、娱乐（D）、戏曲（E）五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生有　　名；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中， $B$ 类节目所对应的扇形圆心角的度数为　　度；

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生数．

等腰三角形 $ABC$ 中， $AB = AC = 4$ ， $∠ BAC = 45 °$ ，以 $AC$ 为腰作等腰直角三角形 $ACD$ ， $∠ CAD$ 为 $90 °$ ，请画出图形，并直接写出点 $B$ 到 $CD$ 的距离．

已知抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ 和点 $C (0, \frac{9}{4})$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 $D$ 的坐标；

（2）如图，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $AB$ ， $BD$ 上（点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合），且 $∠ DEF = ∠ DAB$ ， $DE = EF$ ，直接写出线段 $BE$ 的长．

先化简，再求值： $\frac{1}{3 - x} - \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} + 3 x} \div \frac{x^{2} - 9}{2 x}$ ，其中 $x = 1 - 2 \tan 45 °$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DM ⊥ AC$ ，垂足为 $M$ ， $AB$ 、 $MD$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $D N^{2} = BN \cdot (BN + AC)$ ；

（3）若 $BC = 6$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，求 $DN$ 的长．

证明：（1）如图，连接 $OD$ ，

$∵ AB$ 是直径，

$∴ ∠ ADB = 90 °$ ，

又 $∵ AB = AC$ ，

$∴ BD = CD$ ， $∠ BAD = ∠ CAD$ ，

$∵ AO = BO$ ， $BD = CD$ ，

$∴ OD / / AC$ ，

$∵ DM ⊥ AC$ ，

$∴ OD ⊥ MN$ ，

又 $∵ OD$ 是半径，

$∴ MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $∵ AB = AC$ ，

$∴ ∠ ABC = ∠ ACB$ ，

$∵ ∠ ABC + ∠ BAD = 90 °$ ， $∠ ACB + ∠ CDM = 90 °$ ，

$∴ ∠ BAD = ∠ CDM$ ，

$∵ ∠ BDN = ∠ CDM$ ，

$∴ ∠ BAD = ∠ BDN$ ，

又 $∵ ∠ N = ∠ N$ ，

$∴ ΔBDN ∽ ΔDAN$ ，

$∴ \frac{BN}{DN} = \frac{DN}{AN}$ ，

$∴ D N^{2} = BN \cdot AN = BN \cdot (BN + AB) = BN \cdot (BN + AC)$ ；

（3） $∵ BC = 6$ ， $BD = CD$ ，

$∴ BD = CD = 3$ ，

$∵ \cos C = \frac{3}{5} = \frac{CD}{AC}$ ，

$∴ AC = 5$ ，

$∴ AB = 5$ ，

$∴ AD = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$ ，

$∵ ΔBDN ∽ ΔDAN$ ，

$∴ \frac{BN}{DN} = \frac{DN}{AN} = \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4}$ ，

$∴ BN = \frac{3}{4} DN$ ， $DN = \frac{3}{4} AN$ ，

$∴ BN = \frac{3}{4} (\frac{3}{4} AN) = \frac{9}{16} AN$ ，

$∵ BN + AB = AN$ ，

$∴ \frac{9}{16} AN + 5 = AN$

$∴ AN = \frac{80}{7}$ ，

$∴ DN = \frac{3}{4} AN = \frac{60}{7}$ ．