如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMP-优题课

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D点在AN上，且对角线MN过点C,已知AB=3米，AD=2米。

（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值。

科目数学题型解答题难度容易

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D / / B C$ ， $A C ⊥ B D$ .

（Ⅰ）证明： $B D ⊥ P C$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 4$ ， $B C = 2$ ，直线 $P D$ 与平面 $P A C$ 所成的角为30°，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (x \in R, ω > 0, 0 < ω < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）求函数 $g (x) = f (x - \frac{12}{π}) - f (x + \frac{π}{12})$ 的单调递增区间.

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	$x$	30	25	$y$	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定 $x$ ， $y$ 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

设函数 $f (x) = a x^{n} (1 - x) + b (x > 0)$ ， $n$ 为正整数， $a, b$ 为常数，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y = 1$ .
（1）求 $a, b$ 的值；

（2）求函数 $f (x)$ 的最大值；

（3）证明： $f (x) < \frac{1}{n e}$ .

设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M| = m |D A| (m > 0 且 m \neq 1)$ ，当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.
（2）过原点斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，且它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ ，是否存在 $m$ ,使得对任意的 $k > 0$ ，都有 $P Q ⊥ P H$ ？若存在，请说明理由。

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