（本小题满分12分）
已知函数
，
．
（Ⅰ）设
（其中
是
的导函数），求
的最大值；
（Ⅱ）证明: 当
时，求证：
；
（Ⅲ）设
,当
时,不等式
恒成立,求
的最大值．
已知数列
满足
，数列
满足
.
（Ⅰ）证明数列是等差数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前
项和
.
若
均为正实数，并且
，求证：
以坐标原点O为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：
，曲线C2的参数方程为：
，点N的极坐标为
．
（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数
的取值范围．
如图，已知圆⊙O1与圆⊙O2外切于点P，过点P的直线交圆⊙O1于A，交圆⊙O2于B，AC为圆⊙O1直径，BD与⊙O2相切于B，交AC延长线于D．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若BC、PD相交于点M,则
．
已知函数
．
（Ⅰ）若函数在区间
上存在极值，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）如果当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．