若，且．（1）求的最小值及对应的x值；（2）若不等式的解集记-优题课

若，且．
（1）求的最小值及对应的x值；
（2）若不等式的解集记为A，不等式的解集记为B，求．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次剩余

已知函数 $f (x) = \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若 $f (a) = \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\sin 2 a$ 的值.

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） $A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和系统 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $P$ 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$ ，求的 $P$ 值；

（Ⅱ）求系统 $A$ 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

设函数 $f_{n} (x) = x^{n} + b x + c (n \in N_{+}, b, c \in R)$

（1）设 $n \geq 2$ ， $b = 1$ , $c = - 1$ ，证明： $f_{n} (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内存在唯一的零点；
（2）设 $n$ 为偶数， $|f (- 1)| \leq 1$ ， $|f (1)| \leq 1$ ，求 $b + 3 c$ 的最小值和最大值；
（3）设 $n = 2$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1]$ ，有 $|f_{2} (x_{1}) - f_{2} (x_{2})| \leq 4$ ，求 $b$ 的取值范围；

已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ , $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率。
（1）求椭圆 $C_{2}$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，点 $A, B$ 分别在椭圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上， $\overset{⇀}{O B} = 2 \overset{⇀}{O A}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.

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