（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求证：存在定点，使得函数-优题课

题文

（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求证：存在定点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；
（Ⅱ）定义，其中且，求；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，求证：对于任意都有．

科目数学题型解答题难度未知

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设 ${a_{n}}$ 是公比为正数的等比数列 $a_{1} = 2, a_{3} = a_{2} + 4$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 ${b_{n}}$ 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 ${b_{n}}_{+ 1} a_{n} + b_{n} a_{n + 1} = {(- 2)}^{n} + 1, b_{n} = \frac{3 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}, n \in N *, 且 a_{1} = 2 ．$

（1）求 $a_{2}, a_{3}$ 的值
（2）设 $c_{n} = a_{2 n + 1} ﹣ a_{2 n - 1}, n \in N^{*}$ ,证明 $\{c_{n}\}$ 是等比数列
（3）设 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,证明 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{S_{2 n - 1}}{a_{2 n - 1}} + \frac{S_{2 n}}{a_{2 n}} ⩽ n - \frac{1}{3} (n \in N^{*})$

已知函数 $f (x) = 4 x^{3} + 3 t x^{2} - 6 t^{2} x + t - 1$ ， $x \in R$ ，其中 $t \in R$ ．
（Ⅰ）当 $t = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）当 $t \neq 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的 $t \in (0, + \infty)$ ， $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内均存在零点．

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,点 $P (a, b)$ 满足 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ．
（1）求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)设直线 $P F_{2}$ 与椭圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 16$ 相交于 $A, B$ ,两点若直线 $P F_{2}$ 与圆相交于 $M, N$ 两点,且 $|M N| = \frac{5}{8} |A B|$ ,求椭圆的方程．

如图，在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 45 °$ ， $A D = A C = 1$ ， $O$ 为 $A C$ 中点， $P O ⊥ 平面 A B C D$ ， $P O = 2$ ， $M$ 为 $P D$ 中点．

（Ⅰ）证明： $P B ∥ 平面 A C M$ ；
（Ⅱ）证明： $A D ⊥ 平面 P A C$ ；
（Ⅲ）求直线 $A M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值．

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