如图，几何体中，四边形为平行四边形，且面面，,且,为中点．（-优题课

如图，几何体中，四边形为平行四边形，且面面，,且,为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与底面所成角的正弦值．

科目数学题型解答题难度中等

如图，已经圆上的弧 $\overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B D}$ ，过 $C$ 点的圆切线与 $B A$ 的延长线交于 $E$ 点，证明：
（Ⅰ） $∠ A C E = ∠ B C D$ ；
（Ⅱ） $B C^{2} = B F \times C D$ .

设函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x - a x^{2}$ 。
（1）若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若当 $x \geq 0$ 时 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E :\frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{b^{2}}{y^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 斜率为1的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}|$ $,|A B|,|B F_{2}|成等差数列.（1）求E的离心率；（2）设点p (0, - 1)满足|P A| = |P B|，求E的方程.$

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有 $99 %$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.
附：

如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为等腰梯形， $A B / / C D, A C ⊥ B D$ ，垂足为 $H$ ， $P H$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $A D$ 中点.
（1）证明： $P E ⊥ B C$ ;

（2）若 $∠ A P B = ∠ A D B = 60^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P E H$ 所成角的正弦值.

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