已知：如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E，F、C在BE-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3$ 过 $A (1, 0)$ 、 $B (- 3, 0)$ ，直线 $AD$ 交抛物线于点 $D$ ，点 $D$ 的横坐标为 $- 2$ ，点 $P (m, n)$ 是线段 $AD$ 上的动点，过点 $P$ 的直线垂直于 $x$ 轴，交抛物线于点 $Q$ ．

（1）求直线 $AD$ 及抛物线的解析式；

（2）求线段 $PQ$ 的长度 $l$ 与 $m$ 的关系式， $m$ 为何值时， $PQ$ 最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数） $R$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 、 $D$ 、 $R$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $R$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知 $∠ AOB = 60 °$ ，在 $∠ AOB$ 的平分线 $OM$ 上有一点 $C$ ，将一个 $120 °$ 角的顶点与点 $C$ 重合，它的两条边分别与直线 $OA$ 、 $OB$ 相交于点 $D$ 、 $E$ ．

（1）当 $∠ DCE$ 绕点 $C$ 旋转到 $CD$ 与 $OA$ 垂直时（如图 $1)$ ，请猜想 $OE + OD$ 与 $OC$ 的数量关系，并说明理由；

（2）当 $∠ DCE$ 绕点 $C$ 旋转到 $CD$ 与 $OA$ 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当 $∠ DCE$ 绕点 $C$ 旋转到 $CD$ 与 $OA$ 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 $OD$ 、 $OE$ 与 $OC$ 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 $(J$ ． $Nplcr$ ， $1550 - 1617$ 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(Evlcr$ ， $1707 - 1783$ 年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^{x} = N (a > 0, a \neq 1)$ ，那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作： $x = \log_{a} N$ ．比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{5} 25$ 可以转化为 $5^{2} = 25$ ．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： $\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ；理由如下：

设 $\log_{a} M = m$ ， $\log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$

$∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ，由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$

又 $∵ m + n = \log_{a} M + \log_{a} N$

$∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

解决以下问题：

（1）将指数 $4^{3} = 64$ 转化为对数式　　；

（2）证明 $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$

（3）拓展运用：计算 $\log_{3} 2 + \log_{3} 6 - \log_{3} 4 =$ 　　．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ．

（1）作出经过点 $B$ ，圆心 $O$ 在斜边 $AB$ 上且与边 $AC$ 相切于点 $E$ 的 $⊙ O$ （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的 $⊙ O$ 与边 $AB$ 交于异于点 $B$ 的另外一点 $D$ ，若 $⊙ O$ 的直径为5， $BC = 4$ ；求 $DE$ 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

如图，在 $ΔABC$ 中， $BC = 12$ ， $\tan A = \frac{3}{4}$ ， $∠ B = 30 °$ ；求 $AC$ 和 $AB$ 的长．