某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松-优题课

某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：
甲：我站在此处看树顶仰角为45°。
乙：我站在此处看树顶仰角为30°。
甲：我们的身高都是1.5m。
乙：我们相距20m。
请你根据两位同学的对话，参考图7计算这棵古松的高度。（参考数据≈1.414，≈1.732，结果保留两位小数）。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y$ （千克）与每千克降价 $x$ （元 $) (0 < x < 20)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (\sqrt{3}$ ， $0)$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $OB = 3 OA = \sqrt{3} OC$ ， $∠ OAC$ 的平分线 $AD$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，过点 $A$ 且垂直于 $AD$ 的直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$ ，交直线 $AD$ 于点 $H$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，当 $FH = HP$ 时，求 $m$ 的值；

（3）当直线 $PF$ 为抛物线的对称轴时，以点 $H$ 为圆心， $\frac{1}{2} HC$ 为半径作 $⊙ H$ ，点 $Q$ 为 $⊙ H$ 上的一个动点，求 $\frac{1}{4} AQ + EQ$ 的最小值．

如图， $ΔABC$ 为 $⊙ O$ 的内接三角形， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $BC$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $ΔDAC ∽ ΔDBA$ ；

（2）过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $CE$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，求证： $CE = \frac{1}{2} AD$ ；

（3）若点 $F$ 为直径 $AB$ 下方半圆的中点，连接 $CF$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，且 $AD = 6$ ， $AB = 3$ ，求 $CG$ 的长．

如图，一次函数 $y = mx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (3, 1)$ ， $B (- \frac{1}{2}$ ， $n)$ 两点．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）求 $n$ 的值及该一次函数的解析式．

如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，且 $AB = 2$ ．

（1）求菱形 $ABCD$ 的周长；

（2）若 $AC = 2$ ，求 $BD$ 的长．

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