一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将的直角顶点放在的-优题课

一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设.

（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为       ，周长为       .
（2）将图（1）中的绕顶点逆时针旋转，得到图26（2），此时重叠部分的面积为           ，周长为           .
（3）如果将绕旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为          .
（4）在图（3）情况下，若，求出重叠部分图形的周长.

科目数学题型解答题难度未知

如图，已知直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 与拋物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 6$ 交于 $A ， B$ 两点.

（1）求 $A, B$ 两点的坐标；

（2）求线段 $AB$ 的垂直平分线的解析式；

（3）取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 $P$ 在直线 $AB$ 上方的抛物线上移动，动点 $P$ 将与 $A, B$ 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点 $P$ 的坐标；如果不存在，请简要说明理由.

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象开口向上，且经过点 $A (0, \frac{3}{2}), B (2, - \frac{1}{2})$ .

（1）求 $b$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 在 $1 ⩽ x ⩽ 3$ 时， $y$ 的最大值为1，求 $a$ 的值；

（3）将线段 $AB$ 向右平移 $2$ 个单位得到线段 $A^{'} B^{'}$ .若线段 $A^{'} B^{'}$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c + 4 a - 1$ 仅有一个交点，求 $a$ 的取值范围.

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点， $AC = \sqrt{10}, OB = OC = 3 OA$ .

（1）求拋物线的解析式；

（2）在第二象限内的拋物线上确定一点 $P$ ，使四边形 $PBAC$ 的面积最大，求出点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的结论下，点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使点 $P, B, M, Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为 $20$ 元，并且每周（ $7$ 天）涨价 $2$ 元，从第 $6$ 周开始保持 $30$ 元的价格平稳销售；从第 $12$ 周开始，当季节即将过去时，平均每周减价 $2$ 元，直到第 $16$ 周周末，该服装不再销售.

（1）试建立销售价 $y$ 与周次 $x$ 之间的函数关系式；

（2）若这种时装每件进价 $Z$ 与周次 $x$ 之间的关系为 $Z = - 0.125 {(x - 8)}^{2} + 12, 1 ⩽ x ⩽ 16$ ，且 $x$ 为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大，最大利润为多少?

已知二次函数 $y = x^{2} + b x - c$ 的图象经过两点 $P （ 1 ， a ）， Q （ 2 ， 10 a ）$ .

（1）如果 $a, b, c$ 都是整数，且 $c < b < 8 a$ ，求 $a, b, c$ 的值；

（2）设二次函数 $y = x^{2} + bx - c$ 的图象与 $x$ 轴的交点为 $A, B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ .如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} + bx - c = 0$ 的两个根都是整数，求 $△ ABC$ 的面积.

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