本小题满分13分)
某学校在一次庆祝活动中组织了一场知识竞赛，该竞赛设有三轮，前两轮各有四题，只有答
正确其中三题，才能进入下一轮，否则将被淘汰。最后第三轮有三题，这三题都答对的同学
获得奖金500元．某同学参与了此次知识竞赛，且该同学前两轮每题答正确的概率均为
，
第三轮每题答正确的概率
，各题正确与否互不影响．在竞赛过程中，该同学不放弃所有机
会．
（1）求该同学能进入第三轮的概率；
（2）求该同学获得500元奖金的概率.
已知函数
在
处取得极值.
(1)求实数
的值；
(2)若关于
的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围；
(3)证明:对任意的正整数
,不等式
都成立.
已知椭圆
的离心率为
，直线
过点
，
，且与椭圆
相切于点
.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线
与椭圆相交于不同的两点
、
，使得
?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
设数列
的前
项和为
.已知
，
，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记
为数列
的前项和，求．
在长方体
中，
，
，
为
中点.（Ⅰ）证明：
；（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.
抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
(Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
(Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为
，求的分布列和数学期望.