如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB在x轴的负-优题课

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得矩形EFOD. 点A的对应点为点E，点B的对应点为F，点C的对应点为点D. 抛物线过点A、E、D.

(1) 判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在x 轴的上方是否存在点P、Q，使以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC的面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，求P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中 $a, x, y$ 是两两不同的实数，求 $\frac{3 x^{2} + xy - y^{2}}{x^{2} - xy + y^{2}}$ 的值．

如图，在 $△ ABC$ 中， $CE ⊥ AB$ 于 $E, DF ⊥ AB$ 于 $F, AC / / ED, CE$ 是 $∠ ACB$ 的角平分线，求证： $∠ EDF = ∠ BDF$ ．

一只青蛙在平面直角坐标系上从点 $(1, 1)$ 开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点 $(a, b)$ ，跳到点 $(2 a, b)$ 或 $(a, 2 b)$ ；②对于点 $(a, b)$ ，如果 $a > b$ ，则能从 $(a, b)$ 跳到 $(a - b, b)$ ，如果 $a < b$ ，则能从 $(a, b)$ 跳到 $(a, b - a)$ ，例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点 $(3, 1)$ ，跳跃的一种路径为: $(1, 1) \to (2, 1) \to (4, 1) \to (3, 1)$ ，请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能达到下列各点吗?如果能，请分别给出从点 $(1, 1)$ 出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．

（1） $(3, 5)$ ；（2） $(12, 60)$ ；（3） $(200, 5)$ ；（4） $(200, 6)$ ．

如果将点 $P$ 绕定点 $M$ 旋转 $180^{\circ}$ 后与点 $Q$ 重合，那么称点 $P$ 与点 $Q$ 关于点 $M$ 对称，定点 $M$ 叫对称中心，此时，点 $M$ 是线段 $PQ$ 的中点，如图，在直角坐标系中， $△ ABO$ 的顶点 $A, B, O$ 的坐标分别为 $(1, 0), (0, 1), (0, 0)$ ，点列 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 中的相邻两点都关于 $△ ABO$ 的一个顶点对称，点 $P_{1}$ 与点 $P_{2}$ 关于点 $A$ 对称，点 $P_{2}$ 与点 $P_{3}$ 关于点 $B$ 对称，点 $P_{3}$ 与点 $P_{4}$ 关于点 $O$ 对称，点 $P_{4}$ 与点 $P_{5}$ 关于点 $A$ 对称，点 $P_{5}$ 与点 $P_{6}$ 关于点 $B$ 对称，点 $P_{6}$ 与点 $P_{7}$ 关于点 $O$ 对称，…，对称中心分别是 $A, B, O, A, B, O, \dots$ ，且这些对称中心依次循环，已知 $P_{1}$ 的坐标为 $(1, 1)$ ，试写出 $P_{2}, P_{7}, P_{100}, P_{2021}$ 的坐标．

如图，已知:在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 是长方形， $∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 °, AB / / CD, AB = CD = 8 cm, AD = BC = 6 cm, D$ 点与原点重合，坐标为 $(0, 0)$ ．

（1）写出点 $B$ 的坐标;

（2）动点 $P$ 从点 $A$ 出发以每秒 $3$ 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，动点 $Q$ 从点 $C$ 出发以每秒 $4$ 个单位长度的速度沿射线 $CD$ 方向匀速运动，若 $P, Q$ 两点同时出发，设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $PQ / / BC$ ?

（3）在点 $Q$ 的运动过程中，当点 $Q$ 运动到什么位置时，使 $S_{△ APQ} = 9$ ?求出此时 $Q$ 点的坐标．

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