如果将点P绕定点M旋转180∘后与点Q重合，那么称点P与点Q-优题课

如果将点 $P$ 绕定点 $M$ 旋转 $180^{\circ}$ 后与点 $Q$ 重合，那么称点 $P$ 与点 $Q$ 关于点 $M$ 对称，定点 $M$ 叫对称中心，此时，点 $M$ 是线段 $PQ$ 的中点，如图，在直角坐标系中， $△ ABO$ 的顶点 $A, B, O$ 的坐标分别为 $(1, 0), (0, 1), (0, 0)$ ，点列 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 中的相邻两点都关于 $△ ABO$ 的一个顶点对称，点 $P_{1}$ 与点 $P_{2}$ 关于点 $A$ 对称，点 $P_{2}$ 与点 $P_{3}$ 关于点 $B$ 对称，点 $P_{3}$ 与点 $P_{4}$ 关于点 $O$ 对称，点 $P_{4}$ 与点 $P_{5}$ 关于点 $A$ 对称，点 $P_{5}$ 与点 $P_{6}$ 关于点 $B$ 对称，点 $P_{6}$ 与点 $P_{7}$ 关于点 $O$ 对称，…，对称中心分别是 $A, B, O, A, B, O, \dots$ ，且这些对称中心依次循环，已知 $P_{1}$ 的坐标为 $(1, 1)$ ，试写出 $P_{2}, P_{7}, P_{100}, P_{2021}$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE = CF$ ，求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形．

如图1，在 $ΔABC$ 中，矩形 $EFGH$ 的一边 $EF$ 在 $AB$ 上，顶点 $G$ 、 $H$ 分别在 $BC$ 、 $AC$ 上， $CD$ 是边 $AB$ 上的高， $CD$ 交 $GH$ 于点 $I$ ．若 $CI = 4$ ， $HI = 3$ ， $AD = \frac{9}{2}$ ．矩形 $DFGI$ 恰好为正方形．

（1）求正方形 $DFGI$ 的边长；

（2）如图2，延长 $AB$ 至 $P$ ．使得 $AC = CP$ ，将矩形 $EFGH$ 沿 $BP$ 的方向向右平移，当点 $G$ 刚好落在 $CP$ 上时，试判断移动后的矩形与 $ΔCBP$ 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接 $DG$ ，将正方形 $DFGI$ 绕点 $D$ 顺时针旋转一定的角度得到正方形 $DF' G' I'$ ，正方形 $DF' G' I'$ 分别与线段 $DG$ 、 $DB$ 相交于点 $M$ 、 $N$ ，求 $ΔMNG'$ 的周长．

如图1，抛物线的顶点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，抛物线与 $x$ 轴相交于 $B$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F (0, - 3)$ ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$ ，使得 $EG + FG$ 最小，如果存在，求出点 $G$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $AB$ ，若点 $P$ 是线段 $OE$ 上的一动点，过点 $P$ 作线段 $AB$ 的垂线，分别与线段 $AB$ 、抛物线相交于点 $M$ 、 $N$ （点 $M$ 、 $N$ 都在抛物线对称轴的右侧），当 $MN$ 最大时，求 $ΔPON$ 的面积．

如图，线段 $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $E$ 在 $⊙ O$ 上， $\hat{BC} = \hat{CE}$ ， $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $D$ ，连接 $BE$ ，弦 $BE$ 与线段 $CD$ 相交于点 $F$ ．

（1）求证： $CF = BF$ ；

（2）若 $\cos ∠ ABE = \frac{4}{5}$ ，在 $AB$ 的延长线上取一点 $M$ ，使 $BM = 4$ ， $⊙ O$ 的半径为6．求证：直线 $CM$ 是 $⊙ O$ 的切线．

在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．

试卷网试题网古诗词网作文网范文网