观察等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得.（1）猜想并写-优题课

如图，已知反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 的图象关于 $y$ 轴对称， $A (1, 4)$ ， $B (4, m)$ 是函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 图象上的两点，连接 $AB$ ，点 $C (- 2, n)$ 是函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 图象上的一点，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求 $m$ ， $n$ 的值；

（2）求 $AB$ 所在直线的表达式；

（3）求 $ΔABC$ 的面积．

随着我市农产品整体品牌形象“聊 $\cdot$ 胜一筹 $!$ ”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段 $AB$ ， $BD$ 分别表示大棚的墙高和跨度， $AC$ 表示保温板的长．已知墙高 $AB$ 为2米，墙面与保温板所成的角 $∠ BAC = 150 °$ ，在点 $D$ 处测得 $A$ 点、 $C$ 点的仰角分别为 $9 °$ ， $15.6 °$ ，如图2．求保温板 $AC$ 的长是多少米？（精确到0.1米）

（参考数据： $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.86$ ， $\sin 9 ° \approx 0.16$ ， $\cos 9 ° \approx 0.99$ ， $\tan 9 ° \approx 0.16$ ， $\sin 15.6 ° \approx 0.27$ ， $\cos 15.6 ° \approx 0.96$ ， $\tan 15.6 ° \approx 0.28)$

建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．

（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？

（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？

如图，正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $BC$ 上的一点，连接 $AE$ ，过 $B$ 点作 $BH ⊥ AE$ ，垂足为点 $H$ ，延长 $BH$ 交 $CD$ 于点 $F$ ，连接 $AF$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ．

（2）若正方形边长是5， $BE = 2$ ，求 $AF$ 的长．

时代中学从学生兴趣出发，实施体育活动课走班制．为了了解学生最喜欢的一种球类运动，以便合理安排活动场地，在全校至少喜欢一种球类（乒乓球、羽毛球、排球、篮球、足球）运动的1200名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查（每人只能在这五种球类运动中选择一种），调查结果统计如下：

球类名称	乒乓球	羽毛球	排球	篮球	足球
人数	42	$a$	15	33	$b$

解答下列问题：

（1）这次抽样调查中的样本是　　；

（2）统计表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（3）试估计上述1200名学生中最喜欢乒乓球运动的人数．