如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。
（1）求证：
；
（2）求二面角D—CB1—B的平面角的正切值。
设数列
的前n项和为
，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若
，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由。
（3）若
，是否存在
，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由。
（本小题共16分）已知
.
（1）若函数
在区间
上有极值，求实数
的取值范围；
（2）若关于
的方程
有实数解，求实数
的取值范围；
（3）当
，
时，求证：
.
（本小题共16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点
在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线
截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N．求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
（本小题满分14分）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。
（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：
，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）
（本小题共14分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且
，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点.
（1）求证：BG
面PAD；
（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG
面DEF.