如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，-优题课

如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题

（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a＋3，4－b）与点Q（2a，2b－3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值。
解：（1）A：＿＿＿＿，D：＿＿＿＿＿B：＿＿＿＿，
E：＿＿＿＿，C：＿＿＿＿，F：＿＿＿＿＿
特征：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（2）

科目数学题型解答题难度较易

知识点：坐标与图形变化-旋转

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{2}{1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1}$ ，

第2个等式： $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，

第3个等式： $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ，

第4个等式： $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ ，

第5个等式： $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$ ，

$\dots \dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $12 \times 12$ 的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 $AB$ ．

（1）将线段 $AB$ 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段 $CD$ ，请画出线段 $CD$ ．

（2）以线段 $CD$ 为一边，作一个菱形 $CDEF$ ，且点 $E$ ， $F$ 也为格点．（作出一个菱形即可）

在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $ΔABC$ 两边的中点，如果 $\hat{DE}$ 上的所有点都在 $ΔABC$ 的内部或边上，则称 $\hat{DE}$ 为 $ΔABC$ 的中内弧．例如，图1中 $\hat{DE}$ 是 $ΔABC$ 的一条中内弧．

（1）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AB = AC = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点，画出 $ΔABC$ 的最长的中内弧 $\hat{DE}$ ，并直接写出此时 $\hat{DE}$ 的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 2)$ ， $B (0, 0)$ ， $C (4 t$ ， $0) (t > 0)$ ，在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点．

①若 $t = \frac{1}{2}$ ，求 $ΔABC$ 的中内弧 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 的纵坐标的取值范围；

②若在 $ΔABC$ 中存在一条中内弧 $\hat{DE}$ ，使得 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 在 $ΔABC$ 的内部或边上，直接写出 $t$ 的取值范围．

已知 $∠ AOB = 30 °$ ， $H$ 为射线 $OA$ 上一定点， $OH = \sqrt{3} + 1$ ， $P$ 为射线 $OB$ 上一点， $M$ 为线段 $OH$ 上一动点，连接 $PM$ ，满足 $∠ OMP$ 为钝角，以点 $P$ 为中心，将线段 $PM$ 顺时针旋转 $150 °$ ，得到线段 $PN$ ，连接 $ON$ ．

（1）依题意补全图1；

（2）求证： $∠ OMP = ∠ OPN$ ；

（3）点 $M$ 关于点 $H$ 的对称点为 $Q$ ，连接 $QP$ ．写出一个 $OP$ 的值，使得对于任意的点 $M$ 总有 $ON = QP$ ，并证明．