（本题12分）已知二次函数的图象经过点（0，3），且顶点坐标-优题课

（本题12分）已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（-1，-4）.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

因式分解： $a^{2} + ab - a =$ 　　．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，顶点 $D$ 的坐标为 $(1, - 4)$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在 $y$ 轴上找一点 $E$ ，使得 $ΔEAC$ 为等腰三角形，请直接写出点 $E$ 的坐标．

（3）点 $P$ 是 $x$ 轴上的动点，点 $Q$ 是抛物线上的动点，是否存在点 $P$ 、 $Q$ ，使得以点 $P$ 、 $Q$ 、 $B$ 、 $D$ 为顶点， $BD$ 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $P$ 、 $Q$ 坐标；若不存在，请说明理由．

如图1， $ΔABC$ 和 $ΔDCE$ 都是等边三角形．

探究发现

（1） $ΔBCD$ 与 $ΔACE$ 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点不在一条直线上， $∠ ADC = 30 °$ ， $AD = 3$ ， $CD = 2$ ，求 $BD$ 的长．

（3）若 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在一条直线上（如图 $2)$ ，且 $ΔABC$ 和 $ΔDCE$ 的边长分别为1和2，求 $ΔACD$ 的面积及 $AD$ 的长．

黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．

（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

（2）设甲商品的销售单价为 $x$ （单位：元 $/$ 件），在销售过程中发现：当 $11 ⩽ x ⩽ 19$ 时，甲商品的日销售量 $y$ （单位：件）与销售单价 $x$ 之间存在一次函数关系， $x$ 、 $y$ 之间的部分数值对应关系如表：

销售单价 $x$ （元 $/$ 件）	11	19
日销售量 $y$ （件 $)$	18	2

请写出当 $11 ⩽ x ⩽ 19$ 时， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 $w$ 元，当甲商品的销售单价 $x$ （元 $/$ 件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点（与点 $A$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作直线 $PQ$ ，使得 $∠ ACQ = ∠ ABC$ ．

（1）求证：直线 $PQ$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）过点 $A$ 作 $AD ⊥ PQ$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为2， $\sin ∠ DAC = \frac{1}{2}$ ，求图中阴影部分的面积．