先化简，再选择一个你喜欢的娄（要合适哦！）代入求值：-优题课

（1）数学理解：如图①， $ΔABC$ 是等腰直角三角形，过斜边 $AB$ 的中点 $D$ 作正方形 $DECF$ ，分别交 $BC$ ， $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ，求 $AB$ ， $BE$ ， $AF$ 之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $ΔABC$ 内，找一点 $D$ ，过点 $D$ 作正方形 $DECF$ ，分别交 $BC$ ， $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ，若 $AB = BE + AF$ ，求 $∠ ADB$ 的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $ED$ ， $FD$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ， $N$ ，求 $MN$ ， $AM$ ， $BN$ 的数量关系．

如图，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且关于直线 $x = 1$ 对称，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $BC$ ，若点 $P$ 在 $y$ 轴上时， $BP$ 和 $BC$ 的夹角为 $15 °$ ，求线段 $CP$ 的长度；

（3）当 $a ⩽ x ⩽ a + 1$ 时，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的最小值为 $2 a$ ，求 $a$ 的值．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $OP$ ，点 $A$ 关于 $OP$ 的对称点 $C$ 恰好落在 $⊙ O$ 上．

（1）求证： $OP / / BC$ ；

（2）过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $CD$ ，交 $AP$ 的延长线于点 $D$ ．如果 $∠ D = 90 °$ ， $DP = 1$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

如图，已知一次函数 $y = - 2 x + 8$ 的图象与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，并与反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象相切于点 $C$ ．

（1）切点 $C$ 的坐标是　　；

（2）若点 $M$ 为线段 $BC$ 的中点，将一次函数 $y = - 2 x + 8$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位后，点 $C$ 和点 $M$ 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上时，求 $k$ 的值．

如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 $OP$ 为下水管道口直径， $OB$ 为可绕转轴 $O$ 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径 $OB = OP = 100 cm$ ， $OA$ 为检修时阀门开启的位置，且 $OA = OB$ ．

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 $∠ POB$ 的取值范围；

（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 $OB$ 位置时，在点 $A$ 处测得俯角 $∠ CAB = 67.5 °$ ，若此时点 $B$ 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）

$(\sqrt{2} = 1.41$ ， $\sin 67.5 ° = 0.92$ ， $\cos 67.5 ° = 0.38$ ， $\tan 67.5 ° = 2.41$ ， $\sin 22.5 ° = 0.38$ ， $\cos 22.5 ° = 0.92$ ， $\tan 22.5 ° = 0.41)$