(本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC-优题课

(本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．
求证：S₁∶S₂＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

计算： $| - 3 | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{4} + \tan 45 °$ ．

如图1， $⊙ O$ 经过等边 $ΔABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ （圆心 $O$ 在 $ΔABC$ 内），分别与 $AB$ ， $CB$ 的延长线交于点 $D$ ， $E$ ，连结 $DE$ ， $BF ⊥ EC$ 交 $AE$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BD = BE$ ．

（2）当 $AF : EF = 3 : 2$ ， $AC = 6$ 时，求 $AE$ 的长．

（3）设 $\frac{AF}{EF} = x$ ， $\tan ∠ DAE = y$ ．

①求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

②如图2，连结 $OF$ ， $OB$ ，若 $ΔAEC$ 的面积是 $ΔOFB$ 面积的10倍，求 $y$ 的值．

定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AD$ 是 $ΔABC$ 的角平分线， $E$ ， $F$ 分别是 $BD$ ， $AD$ 上的点．

求证：四边形 $ABEF$ 是邻余四边形．

（2）如图2，在 $5 \times 4$ 的方格纸中， $A$ ， $B$ 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $ABEF$ ，使 $AB$ 是邻余线， $E$ ， $F$ 在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取 $EF$ 中点 $M$ ，连结 $DM$ 并延长交 $AB$ 于点 $Q$ ，延长 $EF$ 交 $AC$ 于点 $N$ ．若 $N$ 为 $AC$ 的中点， $DE = 2 BE$ ， $QB = 3$ ，求邻余线 $AB$ 的长．

某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午 $7 : 40$ 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分 $)$ 的函数关系如图2所示．

（1）求第一班车离入口处的路程 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分 $)$ 的函数表达式．

（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．

（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）

如图，矩形 $EFGH$ 的顶点 $E$ ， $G$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $AD$ ， $BC$ 上，顶点 $F$ ， $H$ 在菱形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上．

（1）求证： $BG = DE$ ；

（2）若 $E$ 为 $AD$ 中点， $FH = 2$ ，求菱形 $ABCD$ 的周长．