已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点，过点作斜率为k的直-优题课

已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点，过点作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与 x轴交于点E（0）。
（1）求k的取值范围；
（2）求证：；
（3）△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出k的值，若不能，请说明理由。

科目数学题型解答题难度容易

设函数 $f (x) = x^{2} + b \ln (x + 1)$ ,其中 $b \neq 0$ .
(I)当 $b > \frac{1}{2}$ 时,判断函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性;
(II)求函数 $f (x)$ 的极值点;
(III)证明对任意的正整数 $n$ ,不等式 $\ln (\frac{1}{n} + 1) > \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}$ 都成立.

已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点,焦点在 $x$ 轴上,椭圆 $C$ 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆 $C$ 的标准方程;
(II)若直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆C相交于 $A, B$ 两点( $A, B$ 不是左右顶点),且以 $A B$ 为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线 $l$ 过定点,并求出该定点的坐标.

如图,甲船以每小时 $30 \sqrt{2}$ 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 $A_{1}$ 处时,乙船位于甲船的北偏西 $105^{°}$ 的方向 $B_{1}$ 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达 $A_{2}$ 处时,乙船航行到甲船的北偏西 $120^{°}$ 方向的 $B_{2}$ 处,此时两船相距 $10 \sqrt{2}$ 海里,问乙船每小时航行多少海里?

如图,在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,已知 $D C = D D_{1} = 2 A D = 2 A B$ , $A D ⊥ D C$ , $A B ∥ D C$ .
(I)设 $E$ 是 $D C$ 的中点,求证: $D_{1} E ∥ 平面 A_{1} B D$ ;
(II)求二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值.

设 $b$ 和 $c$ 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 $ξ$ 表示方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程 $x^{2} + b x + c = 0$

(II) 求 $ξ$ 的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有实根的概率.

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