某班级共有60名学生，先用抽签法从中抽取部分学生调查他们的学-优题课

题文

某班级共有60名学生，先用抽签法从中抽取部分学生调查他们的学习情况，若每位学生被抽到的概率为.

(1)求从中抽取的学生数；
(2)若抽查结果如下,先确定x，再完成频率分布直方图；

每周学习时间(小时)	[0,10)	[10,20)	[20,30)	[30,40
人数	2	4	x	1

(3)估计该班学生每周学习时间的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

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如图,动圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = t^{2}, 1 < t < 3$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 相交于 $A, B, C, D$ 四点,点 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C_{2}$ 的左,右顶点.
(Ⅰ)当 $t$ 为何值时，矩形 $A B C D$ 的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线 $A A_{1}$ 与直线 $A_{2} B$ 交点 $M$ 的轨迹方程.

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷"，已知"体育迷"中有10名女性。
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关？

	非体育迷	体育迷	合计
男
女
合计

(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为"超级体育迷"，已知"超级体育迷"中有2名女性，若从"超级体育迷"中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。

$P (x^{2} \geq k)$	0.05	0.01
$k$	3.841	6.635

附 $X^{2} = \frac{n (n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$

如图，直三棱柱 $A B C - A ` B ` C `$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ , $A A ` = 1$ ，点 $A ` B$ 和 $B ` C `$ 的中点。

(Ⅰ)证明： $M N ∥$ 平面 $A ` A C C `$ ；
(Ⅱ)求三棱锥 $A ` - M N C$ 的体积。（锥体体积公式 $V - \frac{1}{3} S h$ ,其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高).

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .角 $A, B, C$ 成等差数列.
(Ⅰ)求 $\cos B$ 的值；
(Ⅱ)边 $a, b, c$ 成等比数列，求 $\sin A \sin C$ 的值.

已知函数 $f (x) = a x \sin x - \frac{3}{2} (a \in R)$ 且在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $\frac{π - 3}{2}$ ，
(1)求函数 $f (x)$ 的解析式；
(2)判断函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的零点个数，并加以证明

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