三棱柱中,
分别是
、
上的点,且
,
。设
,
,
.
(Ⅰ)试用表示向量
;
(Ⅱ)若,
,
,求MN的长.。
(本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)函数在区间
上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(Ⅱ)当时,
恒成立,求整数
的最大值;
(Ⅲ)试证明:(
)。
(本小题满分13分)已知椭圆的两焦点在
轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的动直线
交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以AB为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
(本小题满分12分)如图1,在Rt中,
,
.D、E分别是
上的点,且
,将
沿
折起到
的位置,使
,如图2.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若,求
与平面
所成角的余弦值;
(Ⅲ)当点在何处时,
的长度最小,并求出最小值.
(本小题满分12分)在数列中,
为常数,
,且
成公比不等于1的等比数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,求数列
的前
项和
。
(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共10只,其中有8只合格品,2只次品。
(Ⅰ)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次,每次取一只灯泡,求2次取到次品的概率;
(Ⅱ)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望。