袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返-优题课

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 在 $A C$ 上， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 1, A C = C C_{1} = 2$ .
（1）证明： $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；
（2）设直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，求二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小.

等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 10, a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $3 a \cos C = 2 c c o s A$ ， $\tan A = \frac{1}{3}$ ，求 $B$ .

对于数对序列 $P : (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}), \dots, (a_{n}, b_{n})$ ，记 $T_{1} (P) = a_{1} + b_{1}$ ， $T_{k} (P) = b_{k} + M a x \{T_{k - 1} (P), a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}\} (2 \leq k \leq n)$ ，其中 $M a x \{T_{k - 1} (P), a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}\}$ 表示 $T_{k - 1} (P)$ 和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 两个数中最大的数.
（1）对于数对序列 $P : (2, 5), (4, 1)$ ，求 $T_{1} (P), T_{2} (P)$ 的值；

（2）记 $m$ 为 $a, b, c, d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对 $(a, b), (c, d)$ 组成的数对序列 $P : (a, b), (c, d)$ 和 $P ` : (c, d), (a, b)$ ，试分别对 $m = a$ 和 $m = d$ 两种情况比较 $T_{2} (P)$ 和 $T_{2} (P `)$ 的大小；（3）在由五个数对 $(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 $P$ 使 $T_{5} (P)$ 最小，并写出 $T_{5} (P)$ 的值.(只需写出结论).

已知椭圆 $C : x^{2} + 2 y^{2} = 4$ .
（1）求椭圆 $C$ 的离心率；
（2）设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y = 2$ 上，且 $O A ⊥ O B$ ，试判断直线 $A B$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的位置关系，并证明你的结论.