某校从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60) ...[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(Ⅲ) 从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
(本小题满分12分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为
,
,
,
,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),
(Ⅰ)求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
(Ⅱ)从盒子中随机抽取个小球,其中重量在
内的小球个数为
,求
的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
(本小题满分12分)已知为等差数列,且满足
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记的前
项和为
,若
成等比数列,求正整数
的值.
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
相交于
两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(Ⅱ)若,求
的值.
如图,已知为圆
的一条直径,以端点
为圆心的圆交直线
于
两点,交圆
于
两点,过点
作垂直于
的直线,交直线
于
点.
(Ⅰ)求证:四点共圆;
(Ⅱ)若,求
外接圆的半径.
已知函数(
为常数,
是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线与
轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中
为
的导函数.证明:对任意
.