某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取
件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
的产品为合格品，否则为不合格品．图
是甲流水线样本的频率分布直方图，表是乙流水线样本频数分布表．
（Ⅰ） 若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取
件产品，求其中合格品的件数
的数学期望；
（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取
件，求其中超过合格品重量的件数
的分布列；
（Ⅲ）由以上统计数据完成下面
列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” ．
| |
甲流水线 |
乙流水线 |
合计 |
| 合格品 |
 |
 |
|
| 不合格品 |
 |
 |
|
| 合 计 |
|
|
 |
 |
0．15 |
0．10 |
0．05 |
0．025 |
0．010 |
0．005 |
0．001 |
 |
2．072 |
2．706 |
3．841 |
5．024 |
6．635 |
7．879 |
10．828 |
附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：
，其中
）
设MN是双曲线
的弦，且MN与
轴垂直，
、
是双曲线的左、右顶点．
（Ⅰ）求直线
和
的交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）
设直线y=x－1与轨迹C交于A、B两点，若轨迹C上的点P满足
(
为坐标原点，
，
)
求证：
为定值,并求出这个定值．
如图，在矩形
中，
是
的中点，以
为折痕将
向上折起，使
为
，且平面
平面
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为
，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合
格与否相互没有影响．
(Ⅰ)求工厂每月盈利额ξ(万元)的所有可能取值；
(Ⅱ)若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；
(Ⅲ)求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．
设函数
（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区
间；
（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且
求a的值．
已知数列
中，
.
（1）求
；
（2）求
的通项公式；
（3）证明：