已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．-优题课

已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．

科目数学题型解答题难度容易

知识点：多项式的插值公式

已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点,焦点在 $x$ 轴上,椭圆 $C$ 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆 $C$ 的标准方程;
(II)若直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆C相交于 $A, B$ 两点( $A, B$ 不是左右顶点),且以 $A B$ 为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线 $l$ 过定点,并求出该定点的坐标.

如图,甲船以每小时 $30 \sqrt{2}$ 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 $A_{1}$ 处时,乙船位于甲船的北偏西 $105^{°}$ 的方向 $B_{1}$ 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达 $A_{2}$ 处时,乙船航行到甲船的北偏西 $120^{°}$ 方向的 $B_{2}$ 处,此时两船相距 $10 \sqrt{2}$ 海里,问乙船每小时航行多少海里?

如图,在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,已知 $D C = D D_{1} = 2 A D = 2 A B$ , $A D ⊥ D C$ , $A B ∥ D C$ .
(I)设 $E$ 是 $D C$ 的中点,求证: $D_{1} E ∥ 平面 A_{1} B D$ ;
(II)求二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值.

设 $b$ 和 $c$ 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 $ξ$ 表示方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程 $x^{2} + b x + c = 0$

(II) 求 $ξ$ 的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有实根的概率.

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 3^{2} a_{3} + . . . + 3^{n - 1} a_{n} = \frac{n}{3}, n \in N^{+}$ .

(I)求数列 ${a_{n}}$ 的通项;   (II)设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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