2012年5月,甘肃省岷县发生雹洪灾害，一批武警官兵奉命营救-优题课

2012年5月,甘肃省岷县发生雹洪灾害，一批武警官兵奉命营救小山两侧A、B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及A、B两地的距离。已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A、B、C、P在同一平面内，
并测得A、B两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=700(1+)米，又知在A处观测山顶P的仰角为45°，求AB两地的距离及小山的高(结果保留根号)．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，点 $A$ 是 $⊙ O$ 直径 $BD$ 延长线上的一点， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AC = BC$ ， $AD = CD$

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为2，求 $ΔABC$ 的面积．

如图，四边形 $OABC$ 是边长为4的正方形，点 $P$ 为 $OA$ 边上任意一点（与点 $O$ 、 $A$ 不重合），连接 $CP$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ CP$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，且 $PM = CP$ ，过点 $M$ 作 $MN / / AO$ ，交 $BO$ 于点 $N$ ，连接 $ND$ 、 $BM$ ，设 $OP = t$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的代数式表示）；

（2）试判断线段 $MN$ 的长度是否随点 $P$ 的位置的变化而改变？并说明理由．

（3）当 $t$ 为何值时，四边形 $BNDM$ 的面积最小；

（4）在 $x$ 轴正半轴上存在点 $Q$ ，使得 $ΔQMN$ 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点 $Q$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）．

都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为 $2 : 1$ ．

运行区间		票价
起点站	终点站	一等座	二等座
都匀	桂林	95（元 $)$	60（元 $)$

（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买 $x$ 张 $(x <$ 参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）在（2）的方案下，请求出当 $x = 30$ 时，购买单程火车票的总费用．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 是 $\hat{AE}$ 上一点，且 $∠ BDE = ∠ CBE$ ， $BD$ 与 $AE$ 交于点 $F$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD$ 平分 $∠ ABE$ ，求证： $D E^{2} = DF \cdot DB$ ；

（3）在（2）的条件下，延长 $ED$ 、 $BA$ 交于点 $P$ ，若 $PA = AO$ ， $DE = 2$ ，求 $PD$ 的长．

已知二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 6)$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标是 $A (- 2, 0)$ ．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 $D$ 的坐标；

（2）将二次函数的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{5}{2}$ 个单位长度，当 $y < 0$ 时，求 $x$ 的取值范围．