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题文

如图, F 1 F 2 分别是椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 A F 2 与椭圆 C 的另一个交点, F 1 A F 2 = 60 ° .

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(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;
(Ⅱ)已知 A F 1 B 的面积为 40 3 ,求 a , b 的值.

科目 数学   题型 解答题   难度 容易
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如图, P C B M 是直角梯形, P C B = 90 ° P M B C P M = 1 B C = 2 ,又 A C = 1 A C B = 120 ° A B P C ,直线 A M 与直线 P C 所成的角为 60 ° .

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(Ⅰ)求证:平面 P A C 平面 A B C ;
(Ⅱ)求二面角 M - A C - B 的大小;
(Ⅲ)求三棱锥 P - M A C 的体积.

已知 cos α = 1 7 , cos ( α - β ) = 13 14 ,且 0 < β < α < π 2 .

(Ⅰ)求 tan 2 a 的值.
(Ⅱ)求 β .

已知抛物线 y = x 2 和三个点 M x 0 , y 0 , P 0 , y 0 , N - x 0 , y 0 y 0 x 0 2 , y 0 > 0 ,过点 M 的一条直线交抛物线于 A B 两点, A P B P 的延长线分别交曲线 C E F

(1)证明 E F N 三点共线;
(2)如果 A B M N 四点共线,问:是否存在 y 0 ,使以线段 A B 为直径的圆与抛物线有异于 A B 的交点?如果存在,求出 y 0 的取值范围,并求出该交点到直线 A B 的距离;若不存在,请说明理由.

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已知函数 f ( x ) = 1 4 x 4 + 1 3 a x 3 - a 2 x 2 + a 4 ( a > 0 )

(1)求函数 y = f ( x ) 的单调区间;
(2)若函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围.

如图,正三棱锥 O - A B C 的三条侧棱 O A , O B , O C 两两垂直,且长度均为2. E , F 分别是 A B , A C 的中点, H E F 的中点,过 E F 的平面与侧棱 O A , O B , O C 或其延长线分别相交于 A 1 , B 1 , C 1 ,已知 O A 1 = 3 2

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(1)求证: B 1 C 1 ⊥面 O A H
(2)求二面角 O - A 1 B 1 - C 1 的大小.

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