先化简，再求值：，其中x＝3．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

（1）连结 $BD$ ，点 $M$ 是线段 $BD$ 上一动点（点 $M$ 不与端点 $B$ ， $D$ 重合），过点 $M$ 作 $MN ⊥ BD$ ，交抛物线于点 $N$ （点 $N$ 在对称轴的右侧），过点 $N$ 作 $NH ⊥ x$ 轴，垂足为 $H$ ，交 $BD$ 于点 $F$ ，点 $P$ 是线段 $OC$ 上一动点，当 $MN$ 取得最大值时，求 $HF + FP + \frac{1}{3} PC$ 的最小值；

（2）在（1）中，当 $MN$ 取得最大值， $HF + FP + \frac{1}{3} PC$ 取得最小值时，把点 $P$ 向上平移 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 个单位得到点 $Q$ ，连结 $AQ$ ，把 $ΔAOQ$ 绕点 $O$ 顺时针旋转一定的角度 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，得到△ $A' OQ'$ ，其中边 $A' Q'$ 交坐标轴于点 $G$ ．在旋转过程中，是否存在一点 $G$ ，使得 $∠ Q^{'} = ∠ Q^{'} OG$ ？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q'$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，连接 $AE$ ， $EM ⊥ AE$ ，垂足为 $E$ ，交 $CD$ 于点 $M$ ， $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ， $BH ⊥ AE$ ，垂足为 $H$ ，交 $AF$ 于点 $N$ ，点 $P$ 是 $AD$ 上一点，连接 $CP$ ．

（1）若 $DP = 2 AP = 4$ ， $CP = \sqrt{17}$ ， $CD = 5$ ，求 $ΔACD$ 的面积．

（2）若 $AE = BN$ ， $AN = CE$ ，求证： $AD = \sqrt{2} CM + 2 CE$ ．

某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．

（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有 $40 %$ 和 $20 %$ 参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 $2 a %$ ，每户物管费将会减少 $\frac{3}{10} a %$ ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 $6 a %$ ，每户物管费将会减少 $\frac{1}{4} a %$ ．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 $\frac{5}{18} a %$ ，求 $a$ 的值．

在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式 $- -$ 利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 $| a | = \{\begin{matrix} a (a ⩾ 0) \\ - a (a < 0) \end{matrix}$ ．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 $y = | kx - 3 | + b$ 中，当 $x = 2$ 时， $y = - 4$ ；当 $x = 0$ 时， $y = - 1$ ．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；

（3）已知函 $y = \frac{1}{2} x - 3$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $| kx - 3 | + b ⩽ \frac{1}{2} x - 3$ 的解集．

《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数 $-$ “纯数”．

定义；对于自然数 $n$ ，在计算 $n + (n + 1) + (n + 2)$ 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 $n$ 为“纯数”，

例如：32是”纯数”，因为计算 $32 + 33 + 34$ 时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算 $23 + 24 + 25$ 时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．