先化简，再求值：，其中。-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1} + x_{2} = 3$ ，求 $k$ 的值及方程的根．

解关于 $x$ 的分式方程： $\frac{9}{3 + x} = \frac{6}{3 - x}$ ．

已知抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ 和 $C (0, \frac{9}{4})$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2）如图，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $AB$ ， $BD$ 上 $(E$ 点不与 $A$ ， $B$ 重合），且 $∠ DEF = ∠ A$ ，则 $ΔDEF$ 能否为等腰三角形？若能，求出 $BE$ 的长；若不能，请说明理由；

（3）若点 $P$ 在抛物线上，且 $\frac{S_{ΔPBD}}{S_{ΔCBD}} = m$ ，试确定满足条件的点 $P$ 的个数．

如图1， $ΔABC$ 中， $CA = CB$ ， $∠ ACB = α$ ， $D$ 为 $ΔABC$ 内一点，将 $ΔCAD$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角 $α$ 得到 $ΔCBE$ ，点 $A$ ， $D$ 的对应点分别为点 $B$ ， $E$ ，且 $A$ ， $D$ ， $E$ 三点在同一直线上．

（1）填空： $∠ CDE =$ 　　（用含 $α$ 的代数式表示）；

（2）如图2，若 $α = 60 °$ ，请补全图形，再过点 $C$ 作 $CF ⊥ AE$ 于点 $F$ ，然后探究线段 $CF$ ， $AE$ ， $BE$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若 $α = 90 °$ ， $AC = 5 \sqrt{2}$ ，且点 $G$ 满足 $∠ AGB = 90 °$ ， $BG = 6$ ，直接写出点 $C$ 到 $AG$ 的距离．

某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元 $/ kg$ ．设第 $x$ 天的销售价格为 $y$ （元 $/ kg)$ ，销售量为 $m (kg)$ ．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 $1 ⩽ x ⩽ 30$ 时， $y = 40$ ；当 $31 ⩽ x ⩽ 50$ 时， $y$ 与 $x$ 满足一次函数关系，且当 $x = 36$ 时， $y = 37$ ； $x = 44$ 时， $y = 33$ ．② $m$ 与 $x$ 的关系为 $m = 5 x + 50$ ．

（1）当 $31 ⩽ x ⩽ 50$ 时， $y$ 与 $x$ 的关系式为　 $y = - \frac{1}{2} x + 55$ 　；

（2） $x$ 为多少时，当天的销售利润 $W$ （元 $)$ 最大？最大利润为多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润 $W$ （元 $)$ 随 $x$ 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨 $a$ 元 $/ kg$ ，求 $a$ 的取值范围．