、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路-优题课

问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“ $L$ ”形纸片，图②是一张 $a \times b$ 的方格纸 $(a \times b$ 的方格纸指边长分别为 $a$ ， $b$ 的矩形，被分成 $a \times b$ 个边长为1的小正方形，其中 $a ⩾ 2$ ， $b ⩾ 2$ ，且 $a$ ， $b$ 为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在 $2 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于 $2 \times 2$ 的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在 $3 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在 $3 \times 2$ 的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $3 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 $2 \times 4 = 8$ 种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在 $a \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在 $a \times 2$ 的方格纸中，共可以找到　 $(a - 1)$ 　个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $a \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在 $a \times 3$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在 $a \times 3$ 的方格纸中，共可以找到　　个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $a \times 3$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

$\dots \dots$

问题解决：

把图①放置在 $a \times b$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． $)$

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 $a$ ， $b$ ， $c (a ⩾ 2$ ， $b ⩾ 2$ ， $c ⩾ 2$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正整数）的长方体，被分成了 $a \times b \times c$ 个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　　个图⑦这样的几何体．

某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求该商品每天的销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 $w$ （元 $)$ 最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $OB$ ， $OD$ 的中点，延长 $AE$ 至 $G$ ，使 $EG = AE$ ，连接 $CG$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）当 $AB$ 与 $AC$ 满足什么数量关系时，四边形 $EGCF$ 是矩形？请说明理由．

甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？

如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道 $AB$ ，栈道 $AB$ 与景区道路 $CD$ 平行．在 $C$ 处测得栈道一端 $A$ 位于北偏西 $42 °$ 方向，在 $D$ 处测得栈道另一端 $B$ 位于北偏西 $32 °$ 方向．已知 $CD = 120 m$ ， $BD = 80 m$ ，求木栈道 $AB$ 的长度（结果保留整数）．

（参考数据： $\sin 32 ° \approx \frac{17}{32}$ ， $\cos 32 ° \approx \frac{17}{20}$ ， $\tan 32 ° \approx \frac{5}{8}$ ， $\sin 42 ° \approx \frac{27}{40}$ ， $\cos 42 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\tan 42 ° \approx \frac{9}{10})$