（本小题满分12分）某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响。预计明年雨水正常的概率为 
，雨水偏少的概率为
。若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为
，单价为3元/公斤的概率为
；若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为，单价为3元/公斤的概率为.
(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率；
(2)在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司为不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，预计每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？
已知各项均为正数的数列
满足：
。
（1）求
的通项公式
（2）当
时，求证：
中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆的离心率为
，且经过点
。若分别过椭圆的左右焦点
、
的动直线
、
相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率
、
、
、
满足
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得
为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．
如图，四边形ABCD中，
为正三角形，
，
，AC与BD交于O点．将
沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为
，且P点在平面ABCD内的射影落在内．
（Ⅰ）求证：
平面PBD；
（Ⅱ）若
时，求二面角
的余弦值。
已知函数
，其中
为自然对数的底数.
（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若函数
存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为
，求
的
值.
设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。在一局比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为
。比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。
（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；
（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为
，求的概率分布列和数学期望
。