把一块三角板置于平面直角坐标系中，三角板的直角顶点为，两直角-优题课

在一次社会调查活动中，小华收集到某"健步走运动"团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：

5640 6430 6520 6798 7325

8430 8215 7453 7446 6754

7638 6834 7326 6830 8648

8753 9450 9865 7290 7850

对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：

步数分组统计表

组别	步数分组	频数
$A$	$5500 ⩽ x < 6500$	2
$B$	$6500 ⩽ x < 7500$	10
$C$	$7500 ⩽ x < 8500$	$m$
$D$	$8500 ⩽ x < 9500$	3
$E$	$9500 ⩽ x < 10500$	$n$

请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）这20名"健步走运动"团队成员一天行走步数的中位数落在　　组；

（4）若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．

抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $C (3, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一个动点，连接 $PB$ ， $PC$ ．设 $ΔPBC$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，试求 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求出 $S$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $AB$ ，点 $M (2, 1)$ 为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使直线 $QM$ 与 $y$ 轴相交所成的锐角等于 $∠ OAB$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

问题发现

（1）如图（1），四边形 $ABCD$ 中，若 $AB = AD$ ， $CB = CD$ ，则线段 $BD$ ， $AC$ 的位置关系为　　；

拓展探究

（2）如图（2），在 $Rt Δ ABC$ 中，点 $F$ 为斜边 $BC$ 的中点，分别以 $AB$ ， $AC$ 为底边，在 $Rt Δ ABC$ 外部作等腰三角形 $ABD$ 和等腰三角形 $ACE$ ，连接 $FD$ ， $FE$ ，分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $M$ ， $N$ ，试猜想四边形 $FMAN$ 的形状，并说明理由；

解决问题

（3）如图（3），在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 2 \sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为旋转中心将正方形 $ABCD$ 旋转 $60 °$ ，得到正方形 $AB' C' D'$ ，请直接写出 $BD'$ 的长度．

为奖励在社会实践活动中表现优异的同学，某校准备购买一批文具袋和水性笔作为奖品．已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍，购买5支水性笔和3个文具袋共需60元．

（1）求文具袋和水性笔的单价；

（2）学校准备购买文具袋10个，水性笔若干支（超过10支）．文具店给出两种优惠方案：

$A$ ：购买一个文具袋，赠送1支水性笔

$B$ ：购买水性笔10支以上，超出10支的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折

①设购买水性笔 $x$ 支，选择方案 $A$ 的总费用为 $y_{1}$ 元，选择方案 $B$ 的总费用为 $y_{2}$ 元，分别求出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $x$ 的函数关系式；

②该学校选择哪种方案更合算？请说明理由．

某校拟建一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整

（1）列式

设矩形的一边长是 $xm$ ，则另一边长是　　 $m$ ，若周长为 $ym$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为　　

（2）画图

①列表

$x$	$\dots$	4	6	10	13	16	20	25	30	$\dots$
$y$	$\dots$	58	$45 \frac{1}{3}$	40	$41 \frac{5}{13}$	$44 \frac{1}{2}$	$a$	58	$66 \frac{2}{3}$	$\dots$

表中 $a =$ 　　

②描点：如图所示；

③连线：请在图中画出该函数的图象．

（3）发现

图象最低点的坐标为　　，即当 $x =$ 　　 $m$ 时，周长 $y$ 有最小值 $40 m$ ；

（4）验证

在张老师的指导下，同学们将 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式进行配方，得出 $y = 2 {(\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}})}^{2} + 40$ ．

$∵ 2 {(\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}})}^{2} ⩾ 0$

$∴ y ⩾$ 　　．

$∴$ 当 $\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}} = 0$ 时， $y$ 有最小值；

此方程可化为 ${(\sqrt{x})}^{2} - 10 = 0$ ；

$∴$ 当 $x =$ 　　 $m$ 时，周长 $y$ 有最小值 $40 m$ ．