如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DM ⊥ AC$ ，垂足为 $M$ ， $AB$ 、 $MD$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $D N^{2} = BN \cdot (BN + AC)$ ；

（3）若 $BC = 6$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，求 $DN$ 的长．

证明：（1）如图，连接 $OD$ ，

$∵ AB$ 是直径，

$∴ ∠ ADB = 90 °$ ，

又 $∵ AB = AC$ ，

$∴ BD = CD$ ， $∠ BAD = ∠ CAD$ ，

$∵ AO = BO$ ， $BD = CD$ ，

$∴ OD / / AC$ ，

$∵ DM ⊥ AC$ ，

$∴ OD ⊥ MN$ ，

又 $∵ OD$ 是半径，

$∴ MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $∵ AB = AC$ ，

$∴ ∠ ABC = ∠ ACB$ ，

$∵ ∠ ABC + ∠ BAD = 90 °$ ， $∠ ACB + ∠ CDM = 90 °$ ，

$∴ ∠ BAD = ∠ CDM$ ，

$∵ ∠ BDN = ∠ CDM$ ，

$∴ ∠ BAD = ∠ BDN$ ，

又 $∵ ∠ N = ∠ N$ ，

$∴ ΔBDN ∽ ΔDAN$ ，

$∴ \frac{BN}{DN} = \frac{DN}{AN}$ ，

$∴ D N^{2} = BN \cdot AN = BN \cdot (BN + AB) = BN \cdot (BN + AC)$ ；

（3） $∵ BC = 6$ ， $BD = CD$ ，

$∴ BD = CD = 3$ ，

$∵ \cos C = \frac{3}{5} = \frac{CD}{AC}$ ，

$∴ AC = 5$ ，

$∴ AB = 5$ ，

$∴ AD = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$ ，

$∵ ΔBDN ∽ ΔDAN$ ，

$∴ \frac{BN}{DN} = \frac{DN}{AN} = \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4}$ ，

$∴ BN = \frac{3}{4} DN$ ， $DN = \frac{3}{4} AN$ ，

$∴ BN = \frac{3}{4} (\frac{3}{4} AN) = \frac{9}{16} AN$ ，

$∵ BN + AB = AN$ ，

$∴ \frac{9}{16} AN + 5 = AN$

$∴ AN = \frac{80}{7}$ ，

$∴ DN = \frac{3}{4} AN = \frac{60}{7}$ ．

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = - x - (k + 1)$ 的图象在第二象限的交点为 $A$ ，在第四象限的交点为 $C$ ，直线 $AO (O$ 为坐标原点）与函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于另一点 $B$ ．过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线，过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线，两直线相交于点 $E$ ， $ΔAEB$ 的面积为6．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

（2）求点 $A$ ， $C$ 的坐标和 $ΔAOC$ 的面积．

期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的 $90 %$ ，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $O$ 为对角线 $AC$ 的中点，过点 $O$ 作直线分别与矩形的边 $AD$ ， $BC$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，连接 $CM$ ， $AN$ ．

（1）求证：四边形 $ANCM$ 为平行四边形；

（2）若 $AD = 4$ ， $AB = 2$ ，且 $MN ⊥ AC$ ，求 $DM$ 的长．

为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的 $a$ ， $b$ 满足关系式 $2 a = 3 b$ ．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

（1）求问题中的总体和样本容量；

（2）求 $a$ ， $b$ 的值（请写出必要的计算过程）；

（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）