图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2.当伞收紧-优题课

图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2.当伞收紧时，点与点重合（此时AC=PN+CN）；当伞慢慢撑开时，动点由向移动；当点到过点时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有分米，分米，分米
（1）求长的取值范围；（2）当时，求的值；
（3）在阳光垂直照射下,伞张得最开，求伞下的阴影(假定为圆面)面积为 (结果保留).

科目数学题型解答题难度较易

知识点：圆内接四边形的性质

如图， $ΔABC$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (2, 4)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (3, 2)$ ．

（1）作出 $ΔABC$ 向左平移4个单位长度后得到的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标．

（2）已知△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $ΔABC$ 关于直线 $l$ 对称，若点 $C_{2}$ 的坐标为 $(- 2, - 3)$ ，请直接写出直线 $l$ 的函数解析式．

注：点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 及点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ 分别是点 $A$ ， $B$ ， $C$ 按题中要求变换后对应得到的点．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 8 (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 3, - 7)$ ， $B (3, 5)$ ，顶点为点 $E$ ，抛物线的对称轴与直线 $AB$ 交于点 $C$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式和抛物线的解析式．

（2）在抛物线上 $A$ ， $E$ 两点之间的部分（不包含 $A$ ， $E$ 两点），是否存在点 $D$ ，使得 $S_{ΔDAC} = 2 S_{ΔDCE}$ ？若存在，求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点 $P$ 在抛物线上，点 $Q$ 在 $x$ 轴上，当以点 $A$ ， $E$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标．

已知：在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 是 $AC$ 边上一点，连接 $BD$ ，点 $E$ 是线段 $BD$ 延长线上一点，连接 $AE$ ， $CE$ ，使 $∠ CAE = ∠ CBE$ ，过点 $C$ 作 $CF ⊥ CE$ ，交 $BD$ 于点 $F$ ．

（1）①如图1，当 $∠ ABC = 45 °$ 时，线段 $AE$ 与 $BF$ 之间的数量关系是　．

②如图2，当 $∠ ABC = 60 °$ 时，线段 $AE$ 与 $BF$ 之间的数量关系是　　．

（2）如图3，当 $∠ ABC = 30 °$ 时，线段 $AE$ 与 $BF$ 之间具有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图4，当 $∠ ABC = α (0 ° < α < 90 °)$ 时，直接写出线段 $AE$ 与 $BF$ 之间的数量关系．（用含 $α$ 的式子表示）

某商场销售 $A$ ， $B$ 两款书包，已知 $A$ ， $B$ 两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场用3600元的资金购进 $A$ ， $B$ 两款书包共100个．

（1）求 $A$ ， $B$ 两款书包分别购进多少个．

（2）市场调查发现， $B$ 款书包每天的销售量 $y$ （个 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 有如下关系： $y = - x + 90 (60 ⩽ x ⩽ 90)$ ．设 $B$ 款书包每天的销售利润为 $w$ 元，当 $B$ 款书包的销售单价为多少元时，商场每天 $B$ 款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD$ 与 $AB$ 交于点 $E$ ，连接 $AD$ ，过点 $A$ 作直线 $MN$ ，使 $∠ MAC = ∠ ADC$ ．

（1）求证：直线 $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $\sin ∠ ADC = \frac{1}{2}$ ， $AB = 8$ ， $AE = 3$ ，求 $DE$ 的长．