如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，-优题课

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，

（1）试说明.
（2）全等吗？试说明理由.
（3）若AC=10，CE=6， AD=5,求DF的长
（4）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图1，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $N$ 是 $BC$ 边上的一点， $D$ 为 $AN$ 的中点，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线交 $CD$ 的延长线于 $T$ ，且 $AT = BN$ ，连接 $BT$ ．

（1）求证： $BN = CN$ ；

（2）在图1中 $AN$ 上取一点 $O$ ，使 $AO = OC$ ，作 $N$ 关于边 $AC$ 的对称点 $M$ ，连接 $MT$ 、 $MO$ 、 $OC$ 、 $OT$ 、 $CM$ 得图2．

①求证： $ΔTOM ∽ ΔAOC$ ；

②设 $TM$ 与 $AC$ 相交于点 $P$ ，求证： $PD / / CM$ ， $PD = \frac{1}{2} CM$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，平行四边形 $ABCD$ 的 $AB$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $AD$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(- 2, 0)$ ， $(8, 0)$ ， $(13, 10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $EF$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $AB$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $EQ$ 之间的动点，射线 $BM$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $ΔPBQ$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 的中点 $O$ 为圆心， $AB$ 为直径的圆交 $AC$ 于 $D$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点， $DE$ 交 $BA$ 的延长线于 $F$ ．

（1）求证： $FD$ 是圆 $O$ 的切线：

（2）若 $BC = 4$ ， $FB = 8$ ，求 $AB$ 的长．

我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类： $A$ 类——接种了只需要注射一针的疫苗； $B$ 类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗； $C$ 类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗； $D$ 类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．

请根据统计图回答下列问题

（1）此次抽样调查的人数是多少人？

（2）接种 $B$ 类疫苗的人数的百分比是多少？接种 $C$ 类疫苗的人数是多少人？

（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．

（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．

今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在 $A$ 处测得国旗 $D$ 处的仰角为 $45 °$ ，站在同一队列 $B$ 处的小刚测得国旗 $C$ 处的仰角为 $23 °$ ，已知小明目高 $AE = 1.4$ 米，距旗杆 $CG$ 的距离为15.8米，小刚目高 $BF = 1.8$ 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 $CD$ 是多少米？（最后结果保留一位小数）

（参考数据： $\sin 23 ° \approx 0.3907$ ， $\cos 23 ° \approx 0.9205$ ， $\tan 23 ° \approx 0.4245)$