已知若试确定的单调区间和单调性．-优题课

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已知若试确定的单调区间和单调性．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：函数的基本性质

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下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨标准煤）的几组对照数据

(1) 请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ；
(3)已知该厂技术改造前 $100$ 吨甲产品能耗为 $90$ 吨标准煤.试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产 $100$ 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考数据: $3 \times 2.5 + 4 \times 3 + 5 \times 4 + 6 \times 4.5 = 66.5$ ）

已知 $A B C$ 的三个顶点的直角坐标分别为 $A (3, 4)$ 、 $B (0, 0)$ 、 $C (c, 0)$

（１）若 $c = 5$ ，求 $\sin ∠ A$ 的值；
（２）若 $∠ A$ 为钝角，求 $c$ 的取值范围；

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, A$ 是椭圆上的一点， $A F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，原点 $O$ 到直线 $A F_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{3} |O F_{1}|$ ．
（Ⅰ）证明 $a = \sqrt{2} b$ ；
（Ⅱ）设 $Q_{1}, Q_{2}$ 为椭圆上的两个动点， $O Q_{1} ⊥ O Q_{2}$ ，过原点 $O$ 作直线 $Q_{1} Q_{2}$ 的垂线 $O D$ ，垂足为 $D$ ，求点 $D$ 的轨迹方程．

在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n - 1} = λ a_{n} + λ^{n + 1} + (2 - λ) 2^{n} (n \in N^{+})$ ，其中 $λ > 0$ ．
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（Ⅲ）证明存在 $k \in N^{+}$ ，使得 $\frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \leq \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 对任意 $n \in N^{+}$ $\{a_{n}\}$ 均成立．

已知函数 $f (x) = \frac{2 a x - a^{2} + 1}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ，其中 $a \in R$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）当 $a \neq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

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