学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡-优题课

学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $CG ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $G$ ．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$ ，一条直角边与 $AC$ 重合，另一条直角边恰好经过点 $B$ ．通过观察、测量 $BF$ 与 $CG$ 的长度，得到 $BF = CG$ ．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $AC$ 方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $AC$ 边重合，另一条直角边交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BA$ 垂足为 $E$ ．此时请你通过观察、测量 $DE$ 、 $DF$ 与 $CG$ 的长度，猜想并写出 $DE$ 、 $DF$ 与 $CG$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $AC$ 方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$ 在线段 $AC$ 上，且点 $F$ 与点 $C$ 不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：

（1）该校八年级共有　　名学生，“优秀”所占圆心角的度数为　　．

（2）请将图1中的条形统计图补充完整．

（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？

（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $BC$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $AD / / OC$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $CD$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $AD = 4$ ，直径 $AB = 12$ ，求线段 $BC$ 的长．

某市为了加快 $5 G$ 网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点 $A$ 测得发射塔顶端 $P$ 点的仰角是 $45 °$ ，向前走60米到达 $B$ 点测得 $P$ 点的仰角是 $60 °$ ，测得发射塔底部 $Q$ 点的仰角是 $30 °$ ．请你帮小军计算出信号发射塔 $PQ$ 的高度．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

（1）尺规作图：作 $Rt Δ ABC$ 的外接圆 $⊙ O$ ；作 $∠ ACB$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若 $AC = 6$ ， $BC = 8$ ，求 $AD$ 的长．