（本小题满分13分）
平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为
，渠深为6。
（1）若渠中水深为4，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；
（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽。
（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，圆O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，点
是线段
延长线上一点，连接PN,且满足
（Ⅰ）求证：
是圆O的切线；
(Ⅱ)若圆O的半径为
，OA=
OM，求MN的长.
（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）
，使得函数
在
的切线斜率
，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）求函数在
的最大值．
（本小题满分12分）
已知在椭圆
中，
分别为椭圆的左右焦点，直线
过椭圆
右焦点
，且与椭圆的交点为
（点在第一象限），若
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线
与
轴分别交于两点A、B，且满足
，延长，分别交椭圆于
两点，判断直线
的斜率是否为定值，并说明理由．
（本小题满分12分）
直四棱柱
中，底面
为菱形，且
，
为
延长线上的一点，且
．
（Ⅰ） 求证：
面
；
(Ⅱ)求四面体
的体积．
（本小题满分12分）
【改编自广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学试题第17题】为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各9件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图是测量数据的茎叶图，但是乙厂记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以
表示，规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.
（Ⅰ）若甲、乙两厂产品中该种元素含量的平均值相同，求的值；
（Ⅱ）求乙厂该种元素含量的平均值超过甲厂平均值的概率；
（Ⅲ）当
时，利用简单随机抽样的方法,分别在甲、乙两厂该种元素含量超过
（毫克）的数据中个抽取一个做代表,设抽取的两个数据中超过
（毫克）的个数最多不超过
个的概率.