在Rt△ABC中，∠ACB90°，以AC为直径的⊙O与AB边-优题课

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交
BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图， $ΔABC$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $OF ⊥ AB$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上，射线 $EM$ 经过点 $C$ ，且 $∠ ACE + ∠ AFO = 180 °$ ．

（1）求证： $EM$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ A = ∠ E$ ， $BC = \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积．（结果保留 $π$ 和根号）．

如图，菱形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，边 $BC$ 在 $x$ 轴上，且 $BC = 5$ ， $\sin ∠ ABC = \frac{4}{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象分别与 $AD$ ， $CD$ 交于点 $M$ 、点 $N$ ，点 $N$ 的坐标是 $(3, n)$ ，连接 $OM$ ， $MC$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证： $ΔOMC$ 是等腰三角形．

青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．

（1）求每袋大米和面粉各多少元？

（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？

我省中小学积极开展综合实践活动，某校准备组织开展四项综合实践活动：“ $A$ ．我是非遗小传人， $B$ ．学做家常餐， $C$ ．爱心义卖行动， $D$ ．找个岗位去体验”．为了解学生最喜爱哪项综合实践活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次一共调查了　　名学生，在扇形统计图中， $m$ 的值是　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1200名学生，估计最喜爱 $B$ 和 $C$ 项目的学生一共有多少名？

（4）现有最喜爱 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱 $C$ 和 $D$ 项目的两位学生的概率．

在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的图象经过 $B$ ， $C$ 两点，且与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，动点 $D$ 在直线 $BC$ 下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接 $DC$ ， $DB$ ，设 $ΔBCD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，过点 $D$ 作 $DM ⊥ BC$ 于点 $M$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDM$ 中的某个角恰好等于 $∠ ABC$ 的2倍？若存在，直接写出点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．