先化简，再求值：，其中，．-优题课

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 $45 °$ 的三角板的斜边与含 $30 °$ 的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 $B$ ， $C$ ， $E$ 在同一直线上，若 $BC = 2$ ，求 $AF$ 的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点，点 $A$ 的坐标为 $(- 6, 0)$ ．如图1，正方形 $OBCD$ 的顶点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上，点 $C$ 在第二象限．现将正方形 $OBCD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转角 $α$ 得到正方形 $OEFG$ ．

（1）如图2，若 $α = 60 °$ ， $OE = OA$ ，求直线 $EF$ 的函数表达式．

（2）若 $α$ 为锐角， $\tan α = \frac{1}{2}$ ，当 $AE$ 取得最小值时，求正方形 $OEFG$ 的面积．

（3）当正方形 $OEFG$ 的顶点 $F$ 落在 $y$ 轴上时，直线 $AE$ 与直线 $FG$ 相交于点 $P$ ， $ΔOEP$ 的其中两边之比能否为 $\sqrt{2} : 1$ ？若能，求点 $P$ 的坐标；若不能，试说明理由

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点，平行于 $x$ 轴的直线与抛物线 $L : y = a x^{2}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在第一象限），点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上．

（1）已知 $a = 1$ ，点 $B$ 的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线 $L$ 使该抛物线过点 $B$ ，与 $AB$ 的延长线交于点 $C$ ，求 $AC$ 的长．

②如图2，若 $BD = \frac{1}{2} AB$ ，过点 $B$ ， $D$ 的抛物线 $L_{2}$ ，其顶点 $M$ 在 $x$ 轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若 $BD = AB$ ，过 $O$ ， $B$ ， $D$ 三点的抛物线 $L_{3}$ ，顶点为 $P$ ，对应函数的二次项系数为 $a_{3}$ ，过点 $P$ 作 $PE / / x$ 轴，交抛物线 $L$ 于 $E$ ， $F$ 两点，求 $\frac{a_{3}}{a}$ 的值，并直接写出 $\frac{AB}{EF}$ 的值．

四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $E$ ，有 $AE = EC$ ， $BE = ED$ ，以 $AB$ 为直径的半圆过点 $E$ ，圆心为 $O$ ．

（1）利用图1，求证：四边形 $ABCD$ 是菱形．

（2）如图2，若 $CD$ 的延长线与半圆相切于点 $F$ ，已知直径 $AB = 8$ ．

①连接 $OE$ ，求 $ΔOBE$ 的面积．

②求弧 $AE$ 的长．

如图，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象交于点 $C$ ， $D$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交该反比例函数图象于点 $E$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）若 $AE = AC$ ．

①求 $k$ 的值．

②试判断点 $E$ 与点 $D$ 是否关于原点 $O$ 成中心对称？并说明理由．